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2009年9月26日(土)

• Silverの定理

  Hrbacek-Jech本に載っているのだからそんなに難しくはないのではとSilverの 定理を読みました。Silverの定理は次の言明です。

  非可算な共終数をもつ特異基数 未満で連続体仮説が成立するとき

  こんなことが正則基数で成立する訳がないので最初に証明されたときは衝撃的 だったらしいです。証明自体はそれほど難しくなかったです。共終数の基本が 分かっていれば誰でも読めると思います。[1] からの下記引用によるとSilver による最初の証明はジェネリック超べきの概念を使用したものだったそうです。

  Silver’s proof uses generic ultrapowers; the elementary proof given here is as in Baumgartner-Prikry [1976, 1977]. Lemma 8.16: Erdös, Hajnal, and Milner [1968].

  情けない話ですがやはりPCFは難しいです。一月くらい今回のような簡単な定理 を楽しみつつリハビリをして、その頃仕事も一段落すると思いますのでfine structure の勉強に入りたいと考えています。

  [1] Thomas J. Jech. Set Theory. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. The third millennium edition, revised and expanded.

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• Hrbacek-Jech 本

  なんか最近 Twitter からの転載ばかりで申し訳けないのですが、いつも宣伝し ている Hrbacek-Jech 本について書いたので誤りとか修正してまとめておきま す。日本でもう少し知られていても良い本だと思います。

  • Karel Hrbacek, Tomas Jech, Introduction To Set Theory. Third Edition, Revised and Expanded.
  • Hrbacek-Jech 本は公理的集合論の入門書と言えると思います。ただし序文 にも記載されていますが論理記号は一切使用していません。
  • 論理記号なしで公理的集合論とはけしからん。というご意見もあるかも知 れませんが逆に論理記号なしでここまで明確な記述が可能であるお手本よよう な本です。
  • 非常に明晰な叙述によりあいまいな点は一つもありません。
  • 内容は本当の入門からやや高度な内容まで網羅されています。
  • 1 Sets
  • 2 Relations, Functions, and Orderings
  • 3 Natural Numbers
  • 4 Finite, Countable, and Uncountable Sets
  • 5 Cardinal Numbers
  • 6 Ordinal Numbers
  • 7 Alephs
  • 8 The Axiom of Choice
  • 9 Arithmetic of Cardinal Numbers
  • 10 Sets of Real Numbers
  • 11 Filters and Ultrafilters
  • 12 Conbinatorial Set Theory
  • 13 Large Cardinals
  • 14 The Axiom of Foundation
  • 15 The Axiomatic Set Theory
  • 9章もしくは10章までが普通に知られている「集合」に関する知識だと思い ます。この部分までだけでも極めて丁寧かつ明快な叙述がなされているのでお 勧めなのです。
  • 9章で cofinality の定義が現れます。Cofinality って普通の数学では余 り使わないので「本当の集合論への入門」を意識しているなと感じる部分です。 というか Jech 本の入門書なのではと疑っています。
  • 10章の実数直線に関することがらは入門書としてはかなり詳しいほうなの では。実数直線の基本に加え導集合やボレル集合の階層の入門となっています。
  • 11章は閉非有界集合や定常集合の入門です。当然フォドアの補題について 記述されています。Δシステム補題の ω_1 の場合や驚くべきことに (今知っ た) Silver による非可算な共終数をもつ特異基数のべきに関する定理まで記載 されています。読み切ってない...。
  • 12章はラムゼイ入門のみならずススリンやアロンシャイン木の入門。あと ダイアモンド原理の定義とかマルチン入門とか。全然読み切れていないことが ますます判明。
  • 13章は測度を通じた可測基数や実数値可測基数の入門。σ完備非単項ウル トラフィルターの存在から可測基数の存在が導かれるとか。可測基数は到達不 可能とか。可測基数と弱コンパクト基数の関係とか。
  • 14章は正則の公理とその帰結としての V_α の階層等。おまけとして Anti-Foundation についても記載されています。
  • 15章は公理のまとめ。連続体仮説のお話。Lのお話や強制法のアイディアと か書いてあります。ここは最初読んだとき理解不可能でした。無限ゲームのお 話も書いてあります。この章はお話です。
  • 以上入門書として完全な内容も含み、本格的な集合論への入門を兼ね備えた素 晴らしい本です。

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• アイス

  昨日は二時頃からモカちゃんのピアノのお稽古だったのですが、お稽古が終わっ たらアイスを食べに行きましょうという合意が形成されました。サーティーワ ンのアイスです。おいしそうです。早く食べたいです。

  三時頃にモカちゃんが帰ってきました。それではアイス、と思ったらピアノの 練習を始めました。いつものパターンだと十分くらいで飽きるので、そしたら アイスです。予想通りピアノの練習は十分くらいで終わりました。アイスです。 こんどはクラリネットを吹き始めました。いやあ、久しぶりに聴いたけど随分 上達したものです。でもアイス食べられない。二十分くらい華麗な演奏を聴か せてくれてやっとアイスを食べにでかけることになりました。

  アイス屋さんに着きました。ところが突然奥さまとモカちゃんが「こんど着る 服買わなくっちゃ」とか話し合いを始めました。あれよあれよという間に「じゃ あアイスは服買った後」と決まり、私はアイス屋さんの前で待つことになりま した。女の子の服選びですからそれなりの時間がかかります。待てど暮せど戻っ てきません。アイスはどうなるの。アイス。幸い Twitter 専用機である iPhone というおもちゃを 持っていったので存外たいくつはしません。でもア イス早く食べたい。アイス。実際には一時間くらいで戻ってきたのですが、長 かったです。永久にアイスを食べられないかと思いました。到達不可能氷石と か到達不可能水晶石とかネタにならないかなとまで考えました。

  やっとアイスを選ぶ段階まで到達しました。到達不可能じゃあなかったみたい です。さらにこの段階になるとモカちゃんが大活躍です。さすが現役女子高生。 どのアイスがおいしいか。パパだったらこの組み合わせが良い。とか色々見繕っ てくれるのです。いやあ苦労して16年育てた甲斐がありました。

  というわけで長時間待った甲斐がありとってもおいしいアイスを食べました。

  余談ですがおうちに帰ってから PCF の論文をのぞき込んだモカちゃんいわく。

  あ。この記号とこの記号分かる。私でも読める。

  いやほんと読めてくれたらとてもうれしいのですが、さすがに無理かなと思い ます。記号は と でした。

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• 調子よくなってきた

  二日前にてなさくさんの日記を読ませて頂いてから、数学の勉強しなくてはと いう強迫観念みたなのがすっきり消えて頭の調子や体調が大分良くなってきま した。さらに仕事の方も調子よくなりました。結局 PCF の方読んでいます。あ せらないで分かるまでのんびり読むのならとても楽しいです。一日一ページと か考えないで推論を楽しんで分からなければ一休み。それでも分からなければ ちょっと飛ばして、後になって運がよければ分かるかも知れない。そんな感じ で読んでいます。途中で挫折しちゃうかも知れませんが、もしそうなったら一 年くらい後にもう一度読めば良いかなと考えています。[1] の復習も少しずつ 進めるつもりです。いいかげんなところ多数ありなのは多いに自覚しています。 そりゃ50才近くになって勉強始めて、学生の人やプロの人のようにすべて完璧 になんて無理です。最近の最大の問題は「すぐに忘れてしまう」ということで す。忘れるのはどうしようもありませんが、記録としてまとめるなり忘れても 比較的ストレスがかからず修復可能になるような仕組みを考えなければなとは 思っています。

  [1] Kenneth Kunen, Set Theory, An Introduction to Independence Proofs, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, North-Holland, 1980.

  (邦訳) ケネス キューネン著, 藤田 博司訳. 集合論—独立性証明への案内. 日 本評論社, 2008.

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• 連休の予定

  諸般の事情で出社しますがさすがに今日と明日はおやすみにします。 Yiannis N. Moschovakis, Descriptive Set Theory: Second Edition を注文し ました (え)

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• 感謝します

  てなさくさんの 2009年9月16日(水)の日記と2009年9月17日(木)の日記 に感謝します。たしかに最近数学の方にあせりがあり、無理をしすぎてますま す状況を悪化させていたと思います。自分で無理をするだけなら良いのですが、 Twitter で色々愚痴というか後で読めば絶対に後悔する (すでに後悔していま す) ような内容を書いたり本当に恥ずかしいです。さらにくるるさんや結城さ んや tri_iro さんに当たり散らすというもうどうしようもない馬鹿なことしちゃ いました。三人の方には本当に申しわけなかったです。おわびいたします。

  もちろん色々なことを学びたい気持ちは変わらないので、現在の目標を破棄す ることはありませんが、あせらずゆっくりと読み進めたいと考えています。少 し落ち着くために forcing-1.1.pdf の内容の見直しや、初心者向けの集合論の 入門に少しでもとりかかる作業も...とか書くとまたあせりが出るので余り書か ないようにします。

  集合論雑記も今まで以上に難しい内容を書いても、そのような内容を読む人な らば専門書を読むに違いないので、第二フェーズという感じと「入門書書きの 練習」を兼ねてまた最初から体系的にという方向にしようかと考えています。 その方が自分自身の復習や練習になって良い結果をもたらすような気がします。 この日記の最近のつまんなさも「日記を書いている時間がもったいない」とい うあせりが最大の原因と思います。

  恐らく今の自分にとって一番良い勉強方法は一年くらいかけて [1] を全部最初 から読み直して解けそうな演習問題に挑戦するとなのではと考え始めました。 PCF や fine structure は一年遅れになりますが、この歳になって一年くらい 大勢に影響はありません。[1] の1章は楽しく読めそうです。2章は一番困って いたΔシステム補題について、今は一番嬉しい状態なので、最初に読んだとき より大分楽しいと思います。未だ不足感ありですが当時に比べて定常集合に大 分慣れていることも大きいと思います。L についても前回読んだときはいいか げんでした。すでに大分忘れていますが Devlin本 2章の予備知識があるので、 こちらもその比較で楽しめそうです。決めた。そうします。

  てなさくさんの日記を読ませて頂き、自分が間違った状況に陥りさらに回りに 迷惑をかけていることに気がつきました。本当にありがとうございます。

  [1] Kenneth Kunen, Set Theory, An Introduction to Independence Proofs, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, North-Holland, 1980.

  (邦訳) ケネス キューネン著, 藤田 博司訳. 集合論—独立性証明への案内. 日 本評論社, 2008.

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• 無題

  今日は数学のこと考えないで一日過ごしました。[1] で不明な部分があったの で[2] を印刷して製本しました。今日は読みません。たまには数学や仕事のこ とを忘れたほうが良さそうな気がします。[2] は こちらから 入手可能です。

  [1] U. Abraham and M. Magidor, Cardinal Arithmetic, to appear in the Handbook of Set Theory.
  [2] Menachem Kojman, The A,B,C of pcf: a companion to pcf theory, part I, 1995.

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• 5連休ないかも

  ちょっと早いけど「明日の分」(今金曜日なのです) 諸般の事情で今月の5連休 全部仕事かも。土日も仕事かも。数学が遠のいてゆく。昨日あんなこと書いた けど数学好きなんです。本当に好きです。なので毎日少しずつでも進めること が出来るように時間を無駄に使わない方向で色々考えています。とはいえ今月 中に PCF は無理そう。でも「後期」から fine structure 始めたい。半月遅れ くらいでなんとかしたいと考えています。

  コメント

  _てなさく [昨日の日記とかで夜中の２時とか言われるとさすがに心配になるし、そうでなくても普段...]

  _かがみ [いろいろご心配おかけして申しわけございません。ここ一週間くらい集中力が持続できず...]

• だめだめ数学

  Twitter からコピーです。あそこは本音が出るのが怖い。

  (4日前 月曜日の朝二時頃から)

  • 数学できない。でもやらなけでばという強迫観念がつらい。
  • 数学のおかげでいままで生きてきたが最後には数学に殺される気がする。
  • 考えてみるとお子様がこの時間まで起きているより「今日仕事がある」五 十過ぎのおやじが数学の勉強をしている方がまずい。(朝の三時頃)
  • もう数学も仕事もいや。世の中から数学と計算機がなくなれば本当に楽に なれる。
  • にしても U. Abrahan, M. Magidor の Cardinal Arithmetic は読みやすい。
  • 二時間くらい寝たほうが良いかな。

  (今日 朝一時頃から)

  • つうか最近証明を理解するどころか追いかけるのも時間がかかるし苦痛に なってきている。もうだめかも。
  • 一週間に一度くらいはうまくゆく日もあるのだけれど、それで疲れてしま い継続できない。
  • 数学が前ほどうまくゆかなくなっている理由として、自分の能力を超えて 難しいせいか、それとも年齢の問題なのかがいまいちよく分からない。
  • 数学を始めると心臓のあたりに違和感を感じる場合がある。これって学生 時代に毎日8時間数学の勉強して壊れたときと同じ症状じゃあないですか。
  • 心臓が不安になってくるとセルシンを供給する。するとややハイになりは かどることははかどる。中毒なのでほとんどないけど若干の眠気がくる場合が ある。その場合はカフェインを供給する。不健康な数学だ。
  • 今月の５連休はちゃんと休めそう。数学進めなくっちゃ。
  • 今日は簡単な補題を読んだら寝ます。
  • やっと数学モードに入ってきた。どうして夜の二時過ぎないとだめなのだ ろう。これがなんとかなればなあ。
  • とにかく一ページ読んだ。簡単なところですけど平日としてはまあまあか も。おやすみなさい。
  • |A| < min(A) という全然意味不明だった条件の意味が分かったかも知れな いのが収穫。
  • たしかに頭働かないので大変なんですが、ウルトラパワー系の概念は割と 代数的な発想で理解可能な部分なのが救いです。

  単なるうつ期ということだといいんですけど。今度の５連休が勝負です。

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• TCF TCF TCF

  [1] 読んでいます。始めの方の簡単な部分だからかも知れませんがとても分か りやすいです。TCF (true cofinality funciton) という概念があり定義は易し いのですが、その構造を色々調べてさらに club guessing sequence の性質と 組み合わせると Silver による非可算共終数をもつ特異基数のべきの大きさに 関する情報が得られるみたいです。ざっと眺めて色々面倒そうな部分はありま すが解読不可能という感じではないのでなるべく早く読破したいと考えていま す。

  [1] U. Abraham and M. Magidor, Cardinal Arithmetic, to appear in the Handbook of Set Theory.

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• PCF PCF PCF

  Club guessing sequence について PCF 理論と関連する部分については大体 読み終わりました。残りは の基本性質、特に localization の部分です。こちらに関連して [1] を参照し ています。 なる正則基数からなる集合 上のイデアルの性質を調べる必用がありそうです。70ページ近く読む必用があ ります。Jech 本でも良さそうなのですが、成り行き上より丁寧に書かれている と思われる文献で勉強したいと考えています。目標は今月いっぱいです。最大 の問題は印刷して製本しようとしたらやや枚数オーバーだったらしく最初の10 ページ位はがれてしまったことです。もう一度印刷し直して二部に分けたほう が良いかも知れません。これ終わったら本当に fine structure の勉強に移行 します。

  [1] U. Abraham and M. Magidor, Cardinal Arithmetic, to appear in the Handbook of Set Theory.

  コメント

  _てなさく [11月の京都大学での研究集会に Sy D. Friedman が来る予定になって...]

  _かがみ [Fine structure についてはもっと早く勉強を始めたかったのですが、や...]

  _てなさく [数学書を20分で200行は無理ですよぉってか、くれぐれも無理しないでくださいよ。...]

  _かがみ [無理しないでというお言葉は涙が出るほどうれしいです。ありがとうございます。とはい...]

• 自宅サーバー壊れる

  自宅サーバーの ThinkPad X24 (OS は FreeBSD) が壊れました。ブート途中に fsck が走り fsck 実行中にディスクIOエラーでシングルユーザーモードに落ち ます。ハードディスク不良と思われます。自宅サーバーといっても会社経由で Web をアクセスするときのプロキシー以外には使用していません。

  購入したのが2002年10月29日ですから7年近く動いてくれました。さらに最後の 3年間は自宅サーバーとして大活躍してくれました。長年お世話になりました。 自宅サーバーなしでも特に困る状況ではないのですが、ないとちょっと寂しい です。なので後継は黒マックが有力です。Leopard 上で Squid を動かせば現行 必用な機能は満たされます。蓋を閉めるとスリープしてしまうのは本体と蓋の 間に何かを挟めば良さそうです。黒マックは会社に置いてあるので今度持ち帰 らなくては。

  コメント

  _標準モデル [すいません、「強制法入門1.1 版」に関して宜しいでしょうか。最後の反映原理の言...]

  _てなさく [反映原理のステートメントについては標準モデルさんのおっしゃるとおりだと思います。...]

  _かがみ [ありがとうございます。ご指摘の反映原理についてはなるべく早く修正します。本文では...]

  _標準モデル [不完全と言うか、恒真式が 1_P で強制されること（構文論的モデルの手法で相対無...]

  _かがみ [了解しました。たしかに説明不足な部分があります。少々時間がかかるかも知れませんが...]

• モカちゃん宿題で苦戦する

  モカちゃんは宿題で徹夜でした。夏休みは40日もあるのにいつも約半分の量が 最後の日に残るのが不思議です。てなさくさんの 2009年8月31日(月) の日記によりますと、娘さんは余裕を持って宿題を終えていたとのことです。 お父さんの学生時代は似たような状況であったと思われるのですが、どこでこ のような違いがでるのでしょうか。不思議としか言いようがありません。

  コメント

  _てなさく [聞くところによると、わが娘の仕上がり具合の責任を半分負うところのわが妻は、夏休み...]

  _かがみ [娘が小学校の頃は私のところでも家内が宿題の半分くらい責任を持っていたと記憶してい...]

  _Joe [私のところでも、最終日にまとめてやっていました。先に済ませて楽になればいいのに、...]

  _かがみ [え。Joe さんの娘さんもう小学生なのですか。早いものですねえ。モカちゃんのお父...]

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