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2012年5月2日(水)

• 有限集合

  $\kappa$ を正則基数として $E \subset \kappa$ を定常集合とする. 各 $\alpha \lt \kappa$ に対して $A_\alpha \subset \alpha$ を満たす列 $\langle A_\alpha : \alpha < \kappa \rangle$ が $\diamondsuit_{\kappa}(E)$-列であるとは次の条件を満たすことであった. \[ \text{任意の } A \subset \kappa \text{ に対して } \{\alpha \in E : A \cap \alpha = A_{\alpha}\} \text{ は } \kappa \text{ の定常集合}. \]

  $V=L$ のとき $\diamondsuit_{\kappa}(E)$-列が存在することを示す.

  (補題) $\lambda$ を極限順序数とする. $\kappa<\lambda$ を不可算正則基数とする. $X \subset L_{\lambda}$ が $|X|<\kappa$ を満たすと仮定する. このとき $X \subset M \prec L_{\lambda}$ で $|M|<\kappa$ かつ $\kappa \cap M \in \kappa$ を満たす $M$ が存在する.

  (補題の証明) $L_\lambda$ の初等的部分構造の増大列 $\langle M_n : n \in \omega \rangle$ を次のように定義する. \begin{gather} M_0 \text{ は } X \subset N ,|N|<\kappa, N \prec L_\lambda \text{ を満たす } {\lt}_{L} \text{-最小の } N. \notag \\ \alpha_{0} = \kappa \cap M_{0}. \notag \\ M_{n+1} \text{ は } M_n \cup \{\alpha_n\} \subset N ,|N|<\kappa, N \prec L_\lambda \text{ を満たす }{\lt}_{L}\text{-最小の } N. \notag \\ \alpha_{n+1} = \kappa \cap M_{n+1}. \notag \end{gather} $M = \bigcup_{n \in \omega} M_n, \alpha = \kappa \cap M$ とすれば, $M \prec L_{\lambda}$ が成り立 ち, $\kappa$ の正則性により $|M|<\kappa$ であり \mbox{$\alpha=\sup_{n \in \omega} \alpha_n \in \kappa$} である (証明終)

  ($V=L$ のとき $\diamondsuit_{\kappa}(E)$-列が存在することの証明)

  以降 $L_{\kappa^{+}}$ で議論する. $\diamondsuit$-列の存在証明と同様に $\xi<\alpha$ の部分集合か らなる列 $\langle A_\xi : \xi < \alpha \rangle$ が定義されている場合に, 論理式 $\varphi(\alpha, E, A, C)$ を次のように定める. $\varphi(\alpha, E, A, C)$ は$\mathrm{ZF}-\mathrm{P}$ でを満たし, $\langle A_\xi : \xi < \alpha \rangle$ を要素とする推移的集合に対して絶対的である. \begin{gather} A \subset \alpha \notag \\ C \subset \alpha \text{ は } \alpha \text{ の閉非有界集合 } \notag \\ \forall \xi \in E \cap C (A \cap \xi \neq A_{\xi}) \notag \end{gather} $\alpha<\kappa$ に対して $\alpha$ の部分集合の対の列 $\mathcal{A} = \langle (A_\alpha, C_\alpha) : \alpha < \kappa \rangle$ を次のように定義する.

  $\alpha$ が $0$ もしくは後続順序数のとき $A_\alpha = C_\alpha = \emptyset$. $\alpha$ が極限順序 数で $\varphi(\alpha, E, A, C)$ を満たす $A, C$ が存在するときその対 $(A, C)$ で $<_L$ - 最小の ものを $(A_\alpha, C_\alpha)$ とする. 存在しない場合 $A_\alpha = C_\alpha = \emptyset$ とする.

  $\langle A_\alpha : \alpha < \kappa \rangle$ が $\diamondsuit_\kappa(E)$-列になることを示す. そう でないと仮定すると $A \subset \kappa$ と $\kappa$ の閉非有界集合 $C \subset \kappa$ が存在して次を 満たす. すなわち $\varphi(\kappa, E, A, C)$ が成立する. \begin{gather} \forall \xi \in E \cap C (A \cap \xi \neq A_{\xi}) \notag \end{gather} $\varphi(\kappa, E, A, C)$ を満たす ${\lt}_{L}$ 最小の対を $\langle A_{\kappa}, C_{\kappa} \rangle$ とする. ここで $L_{\kappa^{+}}$ の初等的部分構造からなる増大列 $\langle M_\alpha : \alpha < \kappa \rangle$ を次のように定義する. \begin{gather} M_0 \text{ は }E \in N, |N|<\kappa, \kappa \cap N \in \kappa, N \prec L_{\kappa^{+}} \text{ を満たす } {\lt}_L\text{-最小の初等的部分構造 } N. \notag \\ M_{\alpha+1} \text{ は } M_{\alpha} \cup \{M_\alpha\} \subset N, |N|<\kappa, \kappa \cap N \in \kappa, N \prec L_{\kappa^{+}} \text{ を満たす } {\lt}_L \text{-最小の初等的部分構造 } N.\notag \\ \alpha \text{ が極限順序数のとき }M_{\alpha} = \bigcup_{\xi \lt \alpha} M_{\xi}. \ \kappa \text{ は正則基数なので } |M_\alpha|<\kappa \text{ である}.\notag \end{gather} $\xi < \kappa$ に対して $\alpha_{\xi} = \kappa \cap M_\xi$ とすると $\langle \alpha_{\xi} : \xi < \kappa \rangle$ は連続であり真の増加である. 従って $Z=\{\xi < \kappa : \alpha_{\xi} = \xi \}$ は $\kappa$ の閉非有界集合となるので $Z \cap E \cap C_\kappa \neq \emptyset$ である. $\beta \in Z \cap E \cap C_\kappa$ を最小の要素とする. そして $M=M_\beta$ とする. $\kappa \cap M = \alpha_{\beta} = \beta$ である. ここまで準備すると $\diamondsuit$ の存在証明と同様である. $\kappa = \sup E$ であることに留意する と ($\kappa$ が $L_{\kappa^{+}}$ で最大の基数として定義可能であることでも良いが, $L_{\kappa^{+}}$ で $\kappa$ と $\kappa^{+}$ 間に基数が存在しないことは証明が必要であると思われる) 次が成立する. \[ \kappa \in M, \mathcal{A} \in M, E \in M, (A_{\kappa}, C_{\kappa}) \in M \] $\pi:M \to L_\gamma$ を推移的崩壊とする. \[ M \vDash \varphi(\kappa, E, A_\kappa, C_\kappa) \] が成り立つので \[ L_\gamma \vDash \varphi(\pi(\kappa), \pi(E), \pi(A_\kappa), \pi(C_\kappa)) \] が成り立つ. さらに次式が成立する. \[ \pi(A_\kappa) = \{\pi(\xi) : (\xi \in A_\kappa)^M\} = \{\pi(\xi) : \xi \in A_\kappa \cap M\} = \{\pi(\xi) : \xi \in A_\kappa \cap \beta \} = \{\xi : \xi \in A_\kappa \cap \beta \} = A_{\kappa}\cap \beta. \] 同様に $\pi(C_\kappa) = C_\kappa \cap \beta, \pi(E) = E \cap \beta$ が成り立つ. したがって (1) が成り立つ. \[ L_\gamma \vDash \varphi(\beta, E\cap \beta, A_\kappa \cap \beta, C_\kappa \cap \beta) \tag{1} \] そして $(A_\kappa \cap \beta, C_\kappa \cap \beta)$ は (1) を満たす ${\lt}_{L}$-最小の要素である. したがって $(E \cap \beta) \cap (C_\kappa \cap \beta) = E \cap (C_\kappa \cap \beta)$ に留意する と (2) が成立する. \[ L_{\kappa^{+}} \vDash \varphi(\beta, E, A_\kappa \cap \beta, C_\kappa \cap \beta) \tag{2} \] そして $(A_\kappa \cap \beta, C_\kappa \cap \beta)$ は (2) を満たす ${\lt}_{L}$-最小の要素である. すると定義可能性により $\diamondsuit$-列の存在証明と同様に $A_\beta = A_\kappa \cap \beta$ が成り 立つが, この事実は $\beta \in E \cap C_\kappa$ と $\forall \xi \in E \cap C_\kappa (A_\kappa \cap \xi \neq A_\xi)$に反する (証明終)

  (参考文献) Keith J.Devlin, Constructibility, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York Tokyo, 1984.

  $\kappa$ を正則基数として $E \subset \kappa$ を定常集合とする. 各 $\alpha \lt \kappa$ に対して $A_\alpha \subset \alpha$ を満たす列 $\langle A_\alpha : \alpha < \kappa \rangle$ が $\diamondsuit_{\kappa}(E)$-列であるとは次の条件を満たすことであった. \[ \text{任意の } A \subset \kappa \text{ に対して } \{\alpha \in E : A \cap \alpha = A_{\alpha}\} \text{ は } \kappa \text{ の定常集合}. \]

  $V=L$ のとき $\diamondsuit_{\kappa}(E)$-列が存在することを示す.

  (補題) $\lambda$ を極限順序数とする. $\kappa<\lambda$ を不可算正則基数とする. $X \subset L_{\lambda}$ が $|X|<\kappa$ を満たすと仮定する. このとき $X \subset M \prec L_{\lambda}$ で $|M|<\kappa$ かつ $\kappa \cap M \in \kappa$ を満たす $M$ が存在する.

  (補題の証明) $L_\lambda$ の初等的部分構造の増大列 $\langle M_n : n \in \omega \rangle$ を次のように定義する. \begin{gather} M_0 \text{ は } X \subset N ,|N|<\kappa, N \prec L_\lambda \text{ を満たす } {\lt}_{L} \text{-最小の } N. \notag \\ \alpha_{0} = \kappa \cap M_{0}. \notag \\ M_{n+1} \text{ は } M_n \cup \{\alpha_n\} \subset N ,|N|<\kappa, N \prec L_\lambda \text{ を満たす }{\lt}_{L}\text{-最小の } N. \notag \\ \alpha_{n+1} = \kappa \cap M_{n+1}. \notag \end{gather} $M = \bigcup_{n \in \omega} M_n, \alpha = \kappa \cap M$ とすれば, $M \prec L_{\lambda}$ が成り立 ち, $\kappa$ の正則性により $|M|<\kappa$ であり \mbox{$\alpha=\sup_{n \in \omega} \alpha_n \in \kappa$} である (証明終)

  ($V=L$ のとき $\diamondsuit_{\kappa}(E)$-列が存在することの証明)

  以降 $L_{\kappa^{+}}$ で議論する. $\diamondsuit$-列の存在証明と同様に $\xi<\alpha$ の部分集合か らなる列 $\langle A_\xi : \xi < \alpha \rangle$ が定義されている場合に, 論理式 $\varphi(\alpha, E, A, C)$ を次のように定める. $\varphi(\alpha, E, A, C)$ は$\mathrm{ZF}-\mathrm{P}$ でを満たし, $\langle A_\xi : \xi < \alpha \rangle$ を要素とする推移的集合に対して絶対的である. \begin{gather} A \subset \alpha \notag \\ C \subset \alpha \text{ は } \alpha \text{ の閉非有界集合 } \notag \\ \forall \xi \in E \cap C (A \cap \xi \neq A_{\xi}) \notag \end{gather} $\alpha<\kappa$ に対して $\alpha$ の部分集合の対の列 $\mathcal{A} = \langle (A_\alpha, C_\alpha) : \alpha < \kappa \rangle$ を次のように定義する.

  $\alpha$ が $0$ もしくは後続順序数のとき $A_\alpha = C_\alpha = \emptyset$. $\alpha$ が極限順序 数で $\varphi(\alpha, E, A, C)$ を満たす $A, C$ が存在するときその対 $(A, C)$ で $<_L$ - 最小の ものを $(A_\alpha, C_\alpha)$ とする. 存在しない場合 $A_\alpha = C_\alpha = \emptyset$ とする.

  $\langle A_\alpha : \alpha < \kappa \rangle$ が $\diamondsuit_\kappa(E)$-列になることを示す. そう でないと仮定すると $A \subset \kappa$ と $\kappa$ の閉非有界集合 $C \subset \kappa$ が存在して次を 満たす. すなわち $\varphi(\kappa, E, A, C)$ が成立する. \begin{gather} \forall \xi \in E \cap C (A \cap \xi \neq A_{\xi}) \notag \end{gather} $\varphi(\kappa, E, A, C)$ を満たす ${\lt}_{L}$ 最小の対を $\langle A_{\kappa}, C_{\kappa} \rangle$ とする. ここで $L_{\kappa^{+}}$ の初等的部分構造からなる増大列 $\langle M_\alpha : \alpha < \kappa \rangle$ を次のように定義する. \begin{gather} M_0 \text{ は }E \in N, |N|<\kappa, \kappa \cap N \in \kappa, N \prec L_{\kappa^{+}} \text{ を満たす } {\lt}_L\text{-最小の初等的部分構造} N. \notag \\ M_{\alpha+1} \text{ は } M_{\alpha} \cup \{M_\alpha\} \subset N, |N|<\kappa, \kappa \cap N \in \kappa, N \prec L_{\kappa^{+}} \text{ を満たす } {\lt}_L \text{-最小の初等的部分構造} N.\notag \\ \alpha \text{ が極限順序数のとき }M_{\alpha} = \bigcup_{\xi \lt \alpha} M_{\xi}. \ \kappa \text{ は正則基数なので} |M_\alpha|<\kappa \text{ である}.\notag \end{gather} $\xi < \kappa$ に対して $\alpha_{\xi} = \kappa \cap M_\xi$ とすると $\langle \alpha_{\xi} : \xi < \kappa \rangle$ は連続であり真の増加である. 従って $Z=\{\xi < \kappa : \alpha_{\xi} = \xi \}$ は $\kappa$ の閉非有界集合となるので $Z \cap E \cap C_\kappa \neq \emptyset$ である. $\beta \in Z \cap E \cap C_\kappa$ を最小の要素とする. そして $M=M_\beta$ とする. $\kappa \cap M = \alpha_{\beta} = \beta$ である. ここまで準備すると $\diamondsuit$ の存在証明と同様である. $\kappa = \sup E$ であることに留意する と ($\kappa$ が $L_{\kappa^{+}}$ で最大の基数として定義可能であることでも良いが, $L_{\kappa^{+}}$ で $\kappa$ と $\kappa^{+}$ 間に基数が存在しないことは証明が必要であると思われる) 次が成立する. \[ \kappa \in M, \mathcal{A} \in M, E \in M, (A_{\kappa}, C_{\kappa}) \in M \] $\pi:M \to L_\gamma$ を推移的崩壊とする. \[ M \vDash \varphi(\kappa, E, A_\kappa, C_\kappa) \] が成り立つので \[ L_\gamma \vDash \varphi(\pi(\kappa), \pi(E), \pi(A_\kappa), \pi(C_\kappa)) \] が成り立つ. さらに次式が成立する. \[ \pi(A_\kappa) = \{\pi(\xi) : (\xi \in A_\kappa)^M\} = \{\pi(\xi) : \xi \in A_\kappa \cap M\} = \{\pi(\xi) : \xi \in A_\kappa \cap \beta \} = \{\xi : \xi \in A_\kappa \cap \beta \} = A_{\kappa}\cap \beta. \] 同様に $\pi(C_\kappa) = C_\kappa \cap \beta, \pi(E) = E \cap \beta$ が成り立つ. したがって (1) が成り立つ. \[ L_\gamma \vDash \varphi(\beta, E\cap \beta, A_\kappa \cap \beta, C_\kappa \cap \beta) \tag{1} \] そして $(A_\kappa \cap \beta, C_\kappa \cap \beta)$ は (1) を満たす ${\lt}_{L}$-最小の要素である. したがって $(E \cap \beta) \cap (C_\kappa \cap \beta) = E \cap (C_\kappa \cap \beta)$ に留意する と (2) が成立する. \[ L_{\kappa^{+}} \vDash \varphi(\beta, E, A_\kappa \cap \beta, C_\kappa \cap \beta) \tag{2} \] そして $(A_\kappa \cap \beta, C_\kappa \cap \beta)$ は (2) を満たす ${\lt}_{L}$-最小の要素である. すると定義可能性により $\diamondsuit$-列の存在証明と同様に $A_\beta = A_\kappa \cap \beta$ が成り 立つが, この事実は $\beta \in E \cap C_\kappa$ と $\forall \xi \in E \cap C_\kappa (A_\kappa \cap \xi \neq A_\xi)$に反する (証明終)

  次の条件を満たす列 $\langle A_\alpha : \alpha \lt \omega_1 \rangle$を$\diamondsuit$-列と呼ぶので あった. \begin{gather} \alpha \lt \omega_1 \ に対して \ A_\alpha \subset \alpha \label{diamond-property} \tag{1.1}\\ 任意の \ A \subset \omega_1 \ に対して \ \{\alpha \lt \omega_1 : A \cap \alpha = A_\alpha \} \notag \ は \ \omega_1 \ の定常集合 \tag{1.2} \end{gather} $V=L$ のとき $\diamondsuit$-列が存在することを証明する.

  (補題) $M \prec L({\omega_2})$ を可算初等的部分構造とする. $\beta = \omega_1 \cap M$ とするとき次 のことが成り立つ. \begin{gather} \omega \in M \tag{2.1}\\ \omega \subset M \tag{2.2}\\ \omega_1 \in M \tag{2.3}\\ \omega_1 \not\subset M \tag{2.4} \\ x \in M \ が \ L({\omega_2}) \ で可算のとき x \subset M \tag{2.5} \\ \beta \ は「本当」の極限順序数 \tag{2.6} \\ \beta \notin M \tag{2.7} \end{gather}

  (証明) 一般に $M \prec M$ を初等的部分構造として $a \in N$ が定義可能なとき $a \in M$ であることに留意す る. 実際 $N$ で $a$ を定義する論理式を $\varphi$ とすると $N \vDash \exists!x (\varphi(x))$ が成 り立つ. 初等性により $M \vDash \exists!x (\varphi(x))$ が成立する. $M$ で $\varphi(x)$ を満たす対 象を $b \in M$ とすると $M \vDash \varphi(b)$ が成り立つ. すると初等性により $N \vDash \varphi(b)$ が成り立ち $a=b$, したがって $a \in M$ が成立する. 以上の留意と定義可能性より $\omega \in M$, $\omega_1 \in M$ は明らかである. さらに自然数は定義可 能なので任意の $n \in \omega$ に対して $n \in M$ である. 従って $\omega \subset M$ も成立する. $\omega_1$ は不可算なので $\omega_1 \not\subset M$も明らか. $x \in L({\omega_2})$ を可算集合とする. このとき$L({\omega_2}) \vDash \exists f (f : \omega \to x \ は全単射)$ が成立する. 従って初等性に より $M \vDash \exists f (f : \omega \to x \ は全単射)$ が成り立つので $f \in M$ を $\omega$ から $x$ への全単射とすると$x = \{f(n) : n \in \omega\}$ が成立する. $\omega \subset M$ だったので任意 の $n \in \omega$ に対して $f(n) \in M$, すなわち $x \subset M$ が成り立つ. 最後に $\beta \notin M$ であるが, もし $\beta \in M$ であるとすると外延が $\omega_1$ と一致する. $M$ で外延性の公理が 成り立つので $M$ で $\omega_1 = \beta$ が成り立ち $\omega_1 \not\subset M$ に矛盾する. $\beta=\alpha+1$ とすると$\alpha \in M$ なので $\beta \in M$ となり矛盾が生ずるので $\beta$ は極 限順序数である. (証明終)

  ($\diamondsuit$ の存在証明) 証明はすべて $L({\omega_2})$ に相対化した論理式で考える. $L({\omega_2})$ では $\mathrm{ZF}-\mathrm{P}$ が成立することに留意する. 極限順序数 $\alpha$ と $\xi < \alpha$ に対して $A_\xi \subset \xi$ を満たす列 $\langle A_{\xi} : \xi < \alpha \rangle$ が与えられたとき $\varphi(\alpha, A, C)$ を次の論理式とする. \begin{gather} A \subset \alpha, C \subset \alpha, C \ は \ \alpha \ の閉非有界集合であり \ \forall \xi \in C( A \cap \xi \neq A_{\xi}) \tag{3.1} \end{gather} $\alpha<\omega_1$ に対して $\alpha$ の部分集合の対の列 $\mathcal{A} = \langle (A_\alpha, C_\alpha) : \alpha < \omega_1 \rangle$ を次のように定義する. $\varphi(\alpha, A, C)$ は $\mathrm{ZF}-\mathrm{P}$ を満たす $L({\omega_2})$ の推移的部分集合に対して絶対的である.

  $\alpha$ が $0$ もしくは後続順序数のとき $A_\alpha = C_\alpha = \emptyset$. $\alpha$ が極限順序数で $\varphi(\alpha, A, C)$ を満たす $A, C$ が存在するとき その対 $(A, C)$ で $<_L$ - 最小のものを $(A_\alpha, C_\alpha)$ とする. 存在しない場合 $A_\alpha = C_\alpha = \emptyset$ とする.

  $\langle A_\alpha : \alpha < \omega_1 \rangle$ が $\diamondsuit$-列であることを示す. $\langle A_\alpha : \alpha < \omega_1 \rangle$ が$\diamondsuit$-列でないと仮定する. このとき$A \subset \omega_1$ が存在して $C=\{\alpha < \omega_1 : A \cap \alpha \neq A_{\alpha}\}$ が $\omega_1$ の閉非 有界集合となる. 言い換えると $\varphi(\omega_1, A, C)$ が成立する. この条件を満たす対 $(A, C)$ で ${\lt}_L$-最小のものを $(A_{\omega_1}, C_{\omega_1})$ とする.

  ここで可算な初等的部分構造 $M \prec L({\omega_2})$ を考える. $\beta = \omega_1 \cap M$ とすると $\beta$ は「本当の」極限順序数である. 定義可能性により $\mathcal{A} = \langle (A_\alpha, C_\alpha) : \alpha < \omega_1 \rangle \in M$ が成立する (この条件は後で $\varphi(\alpha, A, C)$ を $M$ で考えるときに必要となる). さらに $(A_{\omega_1}, C_{\omega_1}) \in M$ すなわち $A_{\omega_1} \in M, C_{\omega_1} \in M$ が成り立つ. $\pi \colon M \to T$ を推移的崩壊とする. $\pi(\omega_1) = \{\pi(\xi) : \xi \in \omega_1 \cap M \} = \{\xi : \xi \in \beta \} = \beta$ であることに注意すると$M \vDash \varphi(\omega_1, A_{\omega_1}, C_{\omega_1})$ なので$T \vDash \varphi(\beta, \pi(A_{\omega_1}), \pi(C_{\omega_1}))$ が成り立つ. ここで定理3.9 (圧縮補題) により $T=L(\gamma)$ と書けることに注意す ると$(\pi(A_{\omega_1}), \pi(C_{\omega_1}))$ は $T = L(\gamma)$ で $\varphi(\beta, A, C)$ を満たす 「本当の」 ${\lt}_{L}$-最小 (「本当」に関して $L(\gamma)$ の性質が効く) の要素であることが言える.

  そして絶対性により $L({\omega_2}) \vDash \varphi(\beta, \pi(A_{\omega_1}), \pi(C_{\omega_1}))$ が 成立して, $(\pi(A_{\omega_1}), \pi(C_{\omega_1}))$ は $L({\omega_2})$ で $\varphi(\beta, A, C)$ を 満たす ${\lt}_{L}$-最小の要素である. 従って定義により $\pi(A_{\omega_1}) = A_\beta, \pi(C_{\omega_1}) = C_\beta$ が成り立つ. さらに $\pi(A_{\omega_1}) = \{\pi(\xi) : \xi \in A_{\omega_1} \cap M \} = \{\pi(\xi) : \xi \in A_{\omega_1} \cap \beta \} = \{\xi : \xi \in A_{\omega_1} \cap \beta \} = A_{\omega_1} \cap \beta$ が成り立ち, 同様に $\pi(C_{\omega_1}) = C_{\omega_1} \cap \beta$ である. 従って $A_{\omega_1} \cap \beta = A_{\beta}, C_{\omega_1} \cap \beta = C_\beta$ が 成立する. そして $C_\beta \subset \beta$ が非有界であることと $C_{\omega_1}$ が $\omega_1$ で閉じ てることに留意すると $\beta \in C_{\omega_1}$ と $A_{\omega_1} \cap \beta = A_{\omega_1}$ が成り 立つが, これは$\varphi(\omega_1, A_{\omega_1}, C_{\omega_1})$ に反する. (証明終)

  コメント

  _てなぴ [有限集合という見出しですごい難しいことが書いてあるので驚きました。]

  _かがみ [こ、これは (汗) MathJax の確認環境が PC 内部での日記システムのコ...]

  _かがみ [あわわ。日付もだぶってる。困った。]

• 有限集合

  実は ZF 上で一般連続体仮説から選択公理が成り立つ証明を調べていたのですが、選択公理が成り立つとは 限らない場合の濃度の挙動について知らなかったので、まず基本と思われる有限の場合についてまとめます。 準備として一般の集合 $A$ 上「帰納的な部分集合族」の概念を提示します。

  (帰納的な部分集合族) $A$ を集合する. $\mathcal{F} \subset \mathcal{P}(A)$ が (1.1) (1.2) の条件を満たすとき「$A$ 上帰納的な部分集合族である」と呼ぶ. ここだけの記号だが「$A$ 上帰納的な部分集合族」全体からなる集合を $\mathrm{Ind}(A)$ と書く。

  \begin{gather} \emptyset \in \mathcal{F} \tag{1.1} \\ 任意の\ X \in \mathcal{F} \ と任意の\ a \in A\ に対して\ X \cup \{a\} \in \mathcal{F} \tag{1.2} \end{gather}

  (有限集合の定義) $A$ を集合する. $\mathrm{Ind}(A)$ に属する任意の $\mathcal{F} \subset \mathcal{P}(A)$ に対して $A \in \mathcal{F}$ のとき $A$ を有限集合と呼ぶ.

  あえて難しくしたような定義です。私自身先月の終わりまでこの定義は知りませんでした。後で分かるよう に ZF 上でこの定義は「$\omega$ の要素 (自然数) と対等である」ことと同値であることが分かります。少 し直感的な意味を考えます。例えば $A = \{1, 3, 5\}$ とします。このとき (1.1) (1.2) を満たす $\mathcal{F}$ に対して $\emptyset \in \mathcal{F}$ が成り立ちます. さらに (1.2) の条件により $\emptyset \cup \{1\} = \{1\}\in \mathcal{F}$ が成り立つことが分かります。同様に$\{1\}\cup\{3\} = \{1,3\} \in \mathcal{F}, \{1,3\}\cup\{5\} = \{1,3,5\} \in \mathcal{F}$ が成り立ちます. したがっ て $A \in \mathcal{F}$ が成り立つのです. 逆に今の段階では循環論法になりますが, $\mathcal{F}$ とし て $\omega$ の「有限」部分集合全体を考えると $\mathcal{F}$ は (1.1) (1.2) を満たしますが $\omega \notin \mathcal{F}$ という感じです。

  有限集合の簡単な性質をいくつか列挙します。

  $A$ が有限集合のとき任意の $x$ に対して $A \cup \{x\}$ も有限集合 $\qquad$ (1.3)

  (有限帰納法) $\varphi(x)$ を論理式として (1.4) (1.5) を満たすと仮定する. \begin{gather} \varphi(\emptyset) \tag{1.4} \\ A \ が有限集合で \ \varphi(A) \ が成り立つとき任意の \ x \ に対して\ \varphi(A \cup \{x\}) \ も成り立つ \tag{1.5} \end{gather} このとき任意の有限集合 $A$ に対して $\varphi(A)$ が成り立つ.

  (1.3) は次のように証明されます. $\mathcal{F} \in \mathrm{Ind}(A \cup \{x\})$ とします. このとき $\mathcal{F} \cap \mathcal{P}(A) \in \mathrm{Ind}(A)$ であることはすぐに分かります。 $A$ は有限集 合なので $A \in \mathcal{F}$ が成立し, $A \cup \{x\} \in \mathcal{F}$ 成り立ちます。

  有限帰納法は $\mathcal{F} = \{B \subset A : B \ は有限集合で\ \varphi(B)\}$ として (1.3) を 適用すれば良い.

  有限集合の部分集合は有限集合.

  $A$ を有限集合とする. $\varphi(B)$ として「$B\ は\ A\ の有限部分集合または\ A \ の部分集合ではな い$」として有限帰納法を適用すれば良い.

  コメント

  _てなぴ [有限集合という見出しですごい難しいことが書いてあるので驚きました。]

  _かがみ [こ、これは (汗) MathJax の確認環境が PC 内部での日記システムのコ...]

  _かがみ [あわわ。日付もだぶってる。困った。]

• 通院記録

  2012年3月に入院してステントを入れて退院 してから初めての通院です。この一ヶ月間特に問題がなかったので大丈夫だろうと思いましたが、やはり大 丈夫でした。血糖値 (というか HbA1c) がやや高いのですがこれは入院前に、「血糖値をきちんと管理した のに再発しちゃった。意味がなかった。」ということで一週間程焼け食いした後遺症と思われます。高いと いっても誤差の範囲なのと、食後2時間の血糖値が落ち着いているので、今の生活を継続すれば大丈夫そうで す。

  診察までは思ったより待ち時間は少なく、予定の時刻から30分遅れ程度で完了しました。ところが院内薬局 (病院の規模は大きい) の待ち時間がなんと2時間と表示されています。これではお話になりません。そこで 処方せんを院外用に切り替えてもらいました。この手続きは10分程度で完了しました。「なんでこんなに時 間が」と激怒していたおっさんがいましたが、彼も院外処方せんに変えてもらえば良いのに。まあ関係ない のでもちろん無視です。病院側も自分の方からは絶対に「院外処方せん」と言い出さないところがなんとも です。とにかくデフォルトは院内処方せんなので、次回からは会計のタイミングで院外処方せんを希望すれ ば良さそうです。

  項目	数値	備考
  グルコース	115	いわゆる血糖値 (食後2時間程度)
  HbA1c	5.9 (6.3 NGSP)	5.8 (6.2 NGSP) 以下が良好とされる. やや良くない. NGSP は新単位系
  HDLコレステロール	80.7	いわゆる善玉コレステロール (40以上)
  LDLコレステロール	59	いわゆる悪玉コレステロール (100以下)

  コメント

  _Y.Kumagai [私の場合、院内処方だったときは診察込みで3,000円弱だったのに、院外処方に変わ...]

  _かがみ [あれ。価格そんなに違うのですか。知りませんでした。今確認したところ個人負担ベース...]

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