02/25 aiueo 01/01 かがみ 01/01 ゼルプスト殿下 01/01 かがみ 01/01 ゼルプスト殿下 05/10 かがみ
これはドル記号です。これは $ 記号です。これは$記号です。これは$100円です。
コメント_かがみ [存外被害が少ない。これなら過去のドル記号は放置してよさそう (こら]
てなさくさんとはやしさんが導入されたそうですので私もまねしました。 \[ \begin{gather} \exists p \in G (p \Vdash \varphi(\dot{x}_1,\cdots, \dot{x}_n)) \leftrightarrow M[G] \vDash \varphi(\dot{x}_1^G, \cdots \dot{x}_n^G) \end{gather} \] (forcing-1.1.pdf より)
集合 $\mathbb{P}$ 上の関係 $\le$ が次の条件を満たすとき半順序関係と呼び $\langle{}\mathbb{P},\le\rangle$と記述する. \begin{gather} \forall{p\in\mathbb{P}}({p}\le{p}) \\ \forall{p, q\in\mathbb{P}}({p}\le{q}\wedge{q}\le{p}\rightarrow{p}={q})\\ \forall{p, q, r\in\mathbb{P}}({p}\le{q}\wedge{q}\le{r}\rightarrow{p}\le{r}) \end{gather} さらに $1\in\mathbb{P}$ が $\forall{p\in\mathbb{P}}(p\le{1})$ を満たすとき, これを $\mathbb{P}$ の最大元と呼び, 最大元も考慮した構造を $\langle{}\mathbb{P}, \le, 1\rangle$ と記述する.
(同じく forcing-1.1.tex から極大原理の部分をほとんどそのままコピー)
(極大原理) $ M $ を集合論の推移的なモデルとし, $ \mathbb{P}\in{M} $ を 半順序集合, $ \varphi $ を論理式とする. このとき $ p\in\mathbb{P} $ に 対し$ (p\Vdash{\exists{x}{\varphi(x)}}) \rightarrow \exists{\dot{x}\in{M^{\mathbb{P}}}}( p\Vdash{\varphi(\dot{x})}) $ .すばらしい。本定理は強制関係における存在記号の基本性質に比べはるかに強い事実が成立 することを述べている. 証明は $ q\le{p}, q\Vdash\varphi(\dot{x}) $ を満たす $ q $ に依存した $ \dot{x} $ を, $ \mathbb{P} $ で存在条件を満たす反鎖 (antichain) に沿って「張り合わせる」ことにより行われる.
(補題) $ A\subset\mathbb{P}, A\in{M} $ を反鎖とし, 各 $ p\in{A} $ に対 し$ \dot{X}_{p}\in{M^\mathbb{P}} $ が対応しているものとする. このとき $ \dot{Z}\in{M^\mathbb{P}} $ が存在し$ \forall{p\in{A}}(p\Vdash{\dot{Z}=\dot{X}_{p}}) $ を満たす.
(補題の証明) $ \dot{Z}=\bigcup_{p\in{A}}{\{\langle \dot{z},r \rangle : r\le{p} \wedge r\Vdash( \dot{z}\in{\dot{X}_p})\}} $ とする. まず $ p\in{A} $ に対し$ p\Vdash{\dot{X}_{p}\subset{\dot{Z}}} $ を証明する. そ のため $ q\le{p} $ に対し $ q\Vdash{\dot{x}\in\dot{X}_p} $ を仮定する. すると強制関係における $ \in $ の定義により$ \{t\le{q}:\exists{\langle \dot{z},r \rangle}\in \dot{X}_{p} : t\le{r} \wedge t\Vdash{\dot{z}=\dot{x}}\} $ はdense below $ q $ . 従って任意の $ s\le{q} $ に対し $ t\le{s}, \langle \dot{z},r \rangle\in{\dot{X}_p} $ が存在し $ t\le{r} \wedge t\Vdash{\dot{z}=\dot{x}} $ が成り立つ. この とき定義より明らかに $ \langle \dot{z},t\rangle \in\dot{Z} $ なので $ t\Vdash{\dot{x}\in\dot{Z}} $ . 従って$ q\Vdash{\dot{x}\in\dot{Z}} $ が 成り立つ. 次に $ p\in{A} $ に対し $ p\Vdash{\dot{Z}\subset{\dot{X}_{p}}} $ を証明 する. $ q\le{p} $ に対し $ q\Vdash{\dot{x}\in\dot{Z}} $ を仮定すると上 の証明と同様に, dense below $ q $ である $ t $ に対し $ \langle \dot{z},r\rangle\in\dot{Z} $ が存在し $ t\le{r} \wedge t\Vdash{\dot{z}=\dot{x}} $ を満たす. ここで$ s\in{A} $ に対し $ r\le{s} \wedge r\Vdash{\dot{z}\in{\dot{X}_s}} $ とすると$ t\le{s},t\le{p} $ なので $ s,p $ はcompatible. $ A $ はantichainだった ので$ s=p $ . これより容易に $ t\Vdash{\dot{x}\in{\dot{X}_{p}}} $ を得 る □
(極大原理の証明) $ \varphi $ を論理式とし $ p\in\mathbb{P} $ に対し$ p\Vdash{\exists{x}(\varphi(x))} $ が成立していると仮定する. Zornの補題 により次の条件を満たす $ p\in\mathbb{P} $ からなる $ \mathbb{P} $ の部 分集合で極大なものを $ A\in{M} $ とする.
\begin{gather} A\text{ is an antichain}. \tag{1.1} \label{maximal-principle-1} \\ \forall{q\in{A}}(q\le{p} \wedge \exists{\dot{x}\in{M^\mathbb{P}}} (q\Vdash\varphi(\dot{x})) \tag{1.2} \label{maximal-principle-2} \end{gather} $ M $ での選択公理により各 $ q\in{A} $ に対し $ q\Vdash(\varphi(\dot{x}_q)) $ を満たす$ (\dot{x}_q)_{q\in{A}} $ を選び 出すと, 上の補題により$ q\Vdash{\dot{z}=\dot{x}_q} $ を満足する $ \dot{z}\in{M^\mathbb{P}} $ が存在し$ \forall{q\in{A}}(q\Vdash{\varphi(\dot{z})}) $ が成立する. $ p\not\Vdash{\varphi(\dot{z})} $ と仮定すると $ r\le{p} $ が存在して$ r\Vdash{\neg\varphi(\dot{z})} $ . 今 $ s\le{r} $ を仮定し, さらに $ s\in{A} $ が成立すると $ s\Vdash{\dot{z}=\dot{x}_{s}} $ なので$ s\Vdash\varphi(\dot{z}) $ が成り立ち矛盾である. 従って $ s\le{r} $ のと き$ s\notin{A} $ . 一方 $ p\Vdash{\exists{x}(\varphi(x))} $ が成立しているので, $ s\le{r} $ が存在し $ \exists{\dot{x}\in{M^\mathbb{P}}}(s\Vdash\varphi(\dot{x})) $ が成り立つ. ところが $ q\in{A} $ に対し $ q\Vdash{\varphi(\dot{z})} \wedge s\Vdash{\neg\varphi(\dot{z})} $ が成立し $ q,s $ はincompatible. $ q\in{A} $ は任意なので $ A\cup\{s\} $ は 式(1.1), 式(1.2) の条件を満た すが, これは $ A $ の極大性に反する □
コメント_てなさく [MathJax導入のお祝いに精妙基数上の \\(\\diamondsuit^{\...]
_てなさく [あきまへんな。]
_てなさく [まあ、コメント欄はこのままでもいいと思います。]
_かがみ [ごめんなさい。コメントのところは対応していないのです。今後対応の予定は...えー...]
先週の金曜日から膀胱炎に罹りいやはや辛かったです。おかげさまで本日ほぼ 回復し散歩がてらドトールに行き、エルデシュ=ラドーの定理の証明を読みまし た。特に難しいテクニックを使うわけではないのですが、証明の発想が面白い のと、 $ 2^\kappa $ と $ \kappa^{+} $ という連続体仮説が成り立つとは限らない世界では一見関係なさそうな概念同 士の絡み合いが面白く好きになった定理の一つです。別にここに書いたから何 か役に立つわけではありませんが、集合論雑記のリハビリを兼ねて証明を記載 します。エルデシュ=ラドーの定理は次の言明です。
(エルデシュ=ラドー Erdős=Rado) $ \kappa $ を基数とするとき $ {(2^\kappa)}^{+} \longrightarrow (\kappa^{+})^2_{\kappa} $
(証明) $ \lambda = {(2^\kappa)}^{+} $ とする. $ F: [\lambda]^2 \rightarrow \kappa $ に対して $ H \subset \lambda $ で $ |H| = \kappa^+ $ であるものが存在し $ [H]^2 $ 上で $ F $ が定値であることを示せば良い. $ a \in \lambda $ に対して $ F_a : \lambda - \{a\} \rightarrow \kappa $ を $ F_a (x) = F(\{a, x\}) $ と定義する. この定義はラムゼイ系の証明における常套手段と思われる. まず次の条件を満たす $ A \subset \lambda $ の存在を証明する.
(1.1)
$
|A| = 2^\kappa
$
(1.2) A の部分集合
$
C \subset A
$
で
$
|C| \le \kappa
$
を満たすものすべてと, 任意の
$
u \in \lambda - C
$
に対して
$
v \in A-C
$
が存在して
$
F_u | C = F_v | C
$
.
(1.1) (1.2) を満たす $ A \subset \lambda $ の存在を示すため $ \lambda $ の部分集合の増大列 $ \langle A_\alpha\,:\,\alpha\lt \kappa^{+} \rangle $ を次の条件を満たすように構成する.
(1.3)
$
|A_\alpha| = 2^\kappa
$
(1.4)
$
C
$
を
$
A_\alpha
$
の部分集合で
$
|C| \le \kappa
$
を満たすものとする. 任意の
$
u \in \lambda - C
$
に対し
$
v \in A_{\alpha+1} -C
$
が存在し
$
F_u | C = F_v | C
$
(1.5)
$
\alpha
$
が極限順序数のとき
$
A_\alpha = \bigcup_{\xi \lt \alpha} A_\xi
$
まず基数が $ 2^\kappa $ である $ A_0 \subset \lambda $ を任意に選ぶ. $ \alpha < \kappa^{+} $ に対して $ |A_\alpha| = 2^\kappa $ を満たす $ A_\alpha $ が定義されていると仮定する. このとき次の条件を満たす $ A_{\alpha+1} $ が存在する.
(1.5)
$
|A_{\alpha+1}| = 2^\kappa
$
(1.6)
任意の
$
C \subset A_\alpha
$
で
$
|C| \le \kappa
$
を満たすものと
$
u \in \lambda - C
$
に対して
$
v \in A_{\alpha + 1} -C
$
が存在して
$
F_u |C = F_v | C
$
実際 $ A_\alpha $ の基数 $ \kappa $ 以下の部分集合は $ |A_\alpha|^k = (2^k)^k = 2^k $ 個しか存在せず $ \kappa $ 以下の大きさの部分集合から $ \kappa $ への関数も $ \kappa^\kappa = 2^\kappa $ 個である. したがって $ A_\alpha $ の大きさが $ \kappa $ 以下部分集合 $ C $ 上の関数の可能性は全体として $ 2^k $ である. よって $ |B|=2^\kappa $ を満たす $ B \subset \lambda $ が存在して $ \kappa $ 以下である $ C \subset A_\alpha $ と $ u\in\lambda -C $ に対して $ v \in B $ が存在して $ F_u | C = F_v |C $ を満たす. そして $ B $ と $ A_\alpha $ の合併を $ A_{\alpha+1} $ とすればよい. そして $ A = \bigcup_{\alpha\lt \kappa^+} A_\alpha $ とすれば $ A $ は (1.1) (1.2) を満たす. 今 $ a \in \lambda - A $ を一つ固定する. そして $ A $ の要素の列 $ \langle x_\alpha \,:\, \alpha \lt \kappa^+ \rangle $ を次のように定義する. $ \alpha \lt \kappa^+ $ に対して $ \langle x_\xi \,:\, \xi \lt \alpha \rangle $ が定まっているとする. そして $ C_\alpha = \{x_\xi \,:\, \xi \lt \alpha \} \subset A $ とすると (1.2) より $ x_\alpha \in A $ が存在し $ F_{x_\alpha} | C_\alpha = F_a | C_\alpha $ を満たす. 言い換えると $ \xi \lt \alpha $ に対して $ F_{x_\alpha}(x_\xi) = F( \{ x_\xi , x_\alpha \} ) = F(\{a, x_\xi\}) = F_a(x_\xi) $ が成り立つ. そして $ F_a|A $ は $ A $ から $ \kappa $ への関数で $ |A|=2^\kappa \ge \kappa^{+} $ なので $ |X|=\kappa^{+} $ を満たす $ X \subset A $ が存在し $ H=\{x_\xi \,:\, \xi \in X\} $ とすると $ F_a $ は $ H $ 上定値となる. そして $ \xi \lt \zeta $ を $ X $ の要素とするとき $ \{x_\xi, x_\zeta\} \in [H]^2 $ で $ F(\{x_\xi, x_\zeta\}) = F_{x_\zeta}(x_\xi) = F_a(x_\xi) $ は定値となる □
(参考文献)
[1] Thomas J. Jech. Set Theory. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. The third millennium edition, revised and expanded.
コメント_かがみ [あれ。「同値関係」が変だ。今日は眠いので後で直します。]
_かがみ [直したけどいまいち上手に表現できていない。とりあえず。後で修正するかも。]
_かがみ [一ヶ所ミス訂正。内容のミスというより mimeTeX の記述ミスでした。]
_くるる [これ、Jechにある証明でも同様なんですが、$A_{\\alpha+1}$の存在...]
_かがみ [すみません。「もし$0\\in A_0$となっていたら$A_1$が構成できない」...]
_くるる [あ、やっぱりとんでもない勘違いでした。ごめんなさい。]
先月は一度も日記書きませんでした。なんとかしなくては。そして今日もまっ たく面白くない通院日記です。
検査の血抜きをして一時間後にまず心臓の先生の診察です。かなり悪かった肝 臓の数値も改善の傾向にありその他の数値は完璧です。もちろんこのままで絶 対に心筋梗塞の再発はないと言い切れないが、一般論として非常に良い状態で あるとのことでした。
次に糖尿病の先生の診察です。美人の女医さんです。前回の診察以降投薬 (ア マリール 0.5mg/日) なしとなり、HbA1c の値が増えてしまうかと心配でしたが、 前回とほぼ同様の 5.6 でした。5.8 以下が良好とされているのでこちらも一安 心です。今回は低血糖らしき症状でかなり糖分を補給したのでもう少し値が悪 くなるかと思っていましたがそれほど悪影響はなかったようです。低血糖に関 しては薬を使っていなくても発症する可能性はあるが、もしかしたら違うかも 知れない。現在血糖値の状態は良好なので、症状が現れたら糖分を補給して様 子見でということになりました。というか話を聞いてもらえただけで今日は調 子良いです。
次回の結果が良好な場合糖尿病の診察は二ヶ月に一度位になるそうです。残念 です (え) 現在のカロリーと運動 (少し多いかもという指導でした) を続けれ ば良いので、定期的に血液の数値を調べれば良く、頻繁に診察する必要はない みたいです。ところで今日病院で支払った明細によると心臓の方は検査もあり 2,000円位だったのですが、糖尿病の方は 0 円でした。「どうして 0 円なので すか？」と聞いたところ、初診料は心臓の方で請求しているので糖尿病の方で は請求できないとのことでした。そして検査は心臓の方の検査値を流用したの でこちらも糖尿病の方では請求できない。さらに今回は指導料も請求の対象に ならないそうです。検査はともかく指導料が無料なのは何かが間違っている気 がします。今日は10分以上親切に指導して頂いたのでなおさらそのような気が します。もっとも指導料に関しては次回まとめてそれなりという話もあるので、 全体としてはバランスがとれているのかも知れません。
項目 数値 備考 グルコース 120 いわゆる血糖値 (食後 2.0 時間) HbA1C 5.6 5.8以下が正常とされる HDLコレステロール 70 いわゆる善玉コレステロール (30以上) LDLコレステロール 63 いわゆる悪玉コレステロール (100以下) L/H比 0.9 2.0以下が正常とされる. 0.9は理想的
年月日 HbA1c 備考 2010年4月 9.0 心筋梗塞発症 2010年5月19日 7.9 アマリール 0.5mg/日 2010年6月18日 6.8 アマリール 0.5mg/日 2010年7月24日 6.0 アマリール 0.5mg/日 2010年8月27日 5.7 アマリール 0.5mg/日 2010年10月1日 5.6 前回より投薬中止
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