わわっ、 union でなく times です。少なくとも。まだ間違っているような気がするので、こちらは週末に真面目に考えます。といいますか、置換の公理がないと極めて苦しいです。一番無意識に使ってしまいそうですし。 で、論理式の有限列の方は、「間違ってるのでは」と思ったら、こちらは正しいのですね。確かに、論理式自体が集合論の内部で形式化されているので、それが「本当の (普通に考えた)」自然数で表現されているかどうかに無関係に問題がないことは分かりました。中途半端な知識で余計なことを考えてしまいました。あっ、でも Kunen本の注意書きを読めば、普通、疑ってみるかも。詰めが甘かったです。
お久しぶりです。
落とし穴はいくらでもあるかもしれないのでお気をつけ下さい。
Devlin の第一章でいまだにわかってないところは，任意の集合 $a$ と任意の自然数 $n$ に対して，${}^n a$ の存在が BS (Basic Set theory) で言える，というところです。BS では，直積の存在は保証されていますが，上の集合の存在は保証されていません。この集合の存在を示すには直積の存在を使うのが自然で，$a$ の $n$ 個の直積から ${}^n a$ へ canonical な全単射があるので，非常に弱い replacement さえあれば ${}^n a$ の存在が言えるわけですが，ご存知の通り BS には replacement は一切ありません。僕は上の主張を疑っていますが，反例を作るには普段 set theory では扱わない非常に delicate な model を作る必要があるので，作る気が失せています。（爆）
まぁ，L-hierarchy の limit ordinal のところでは上の集合の存在は言えますし，「finite sequence」と書いてあるところを全て「有限個の直積」と思って読めば話は通ると思います。このあたりは coding の仕方の問題だけなので。
勉強していけばいくほどこういった曖昧な部分に遭遇すると思いますが，お互い頑張りましょう。
こんにちは。コメントありがとうございます。
あっ、37ページの
it is clear from the definition of BS that:
BS|-(∀a)(∀n∈ω)(∃u)Seq(u,a,n)
の部分でしょうか。確かに指摘して頂くと clear ではないような。
${}^(n+1) a
= {}^n x \cup \{(n+1,y) : y \in x \}
= \{ z : \exists{n\in\omega}\exists{y\in x}(z=(n+1,y) \wedge y\in{x} \}$
で良いような気がしますが、考えてみるとこの方式の帰納的な定義では置換公理が必要な気がします。 うーん、微妙な...。
私が疑っていたのは 59ページの (vi) の証明で、有限列に対し、対応する「要素に関する等式」を並べた論理式を使っている部分が、まずいのではないかということです。確か Kunen本に注意書きとしてあったような気がします。
今後も色々落とし穴にはまり、多いに楽しめそうです。あっ、でも自分で気がつかない落とし穴が大量に発生しそうな。変なことを書いてたら指摘して頂けるとうれしいです。
あれっ、上のコメントで union のレヴェル間違えたかも知れません。あっ、頭が...。
Response ありがとうございます。
上の式は間違えていますが，普通に帰納法で示そうとすると replacement が必要だということはわかっていただけたと思います。
59ページの (vi) の証明は正しいです。というのも，L-hierarchy を構成する時は，集合論の中で形式化された論理式に対する definability を使っているので，集合論の中の有限集合は集合論の中で形式化された論理式で完全に記述することができます。一方，Kunen では，集合論の外で与えられた論理式で $A$ の中で define される集合は $\mathcal{D} (A)$ に属している，という補題(VI. Lemma 1.2) を direct に使って上の結論を導くのは誤りである，ということが注意されています。
わわっ、 union でなく times です。少なくとも。まだ間違っているような気がするので、こちらは週末に真面目に考えます。といいますか、置換の公理がないと極めて苦しいです。一番無意識に使ってしまいそうですし。
で、論理式の有限列の方は、「間違ってるのでは」と思ったら、こちらは正しいのですね。確かに、論理式自体が集合論の内部で形式化されているので、それが「本当の (普通に考えた)」自然数で表現されているかどうかに無関係に問題がないことは分かりました。中途半端な知識で余計なことを考えてしまいました。あっ、でも Kunen本の注意書きを読めば、普通、疑ってみるかも。詰めが甘かったです。