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整列不可能というので、もっと奇妙な集合かと思いきや、少なくとも M[G] ではごく普通の可算個の実数（の二進表示で1になってる部分の桁番号集めたやつ）の集合なんですね。こんなのが整列不可能になる（ようなモデルが存在する）って意外でした。うーん、何がポイントなんだろ、HOD(A) では M[G]の実数を任意有限個しか見分けられないというか、それ以前に、この A の元については、 HOD(A) の中では、そもそも A の要素 a を "x=a" みたいなそのまんまな論理式でしか構成できない風に感じたんですが、むー、ちょっと証明の本質的なポイントが掴めませんでした。うーん、でも、こういうの面白いです。こうやって選択公理の否定のモデル作るんですね。
あっ、なんか楽しんで頂けたようで、うれしいです。で、ほんとは私も直感的につかみきれてません (弱)。A 自体非常に一般的に定義されていて、もちろん M[G] では整列できるのですが、一般性により HOD(A) では要素間の区別がつきにくいような気はします。なんとなく L(A) でも同様な事実が成立すると思うのですが、L(A) が下から相対化した論理式で定義可能性を積み上げてゆく必要があるのに比して、HOD(A) は (実際には大きな順序数への反映が必要ですが) 上から定義可能性を要求できるので扱いやすいのでしょうか。A の整列は定義可能性の観点からは絶望的な感じはしますので。実はこの部分は一年くらい前に一度読んだのですが、いまいち強制拡大の直感ができていなかったのと、HOD の勉強不足で良くわからなかったのです。今回は丁度整列不可能性の話題があり、L とも関連があり良い機会なので、少し真面目勉強しました。というわけで、今後ともよろしくお願いします。ではでは。
整列不可能というので、もっと奇妙な集合かと思いきや、
少なくとも M[G] ではごく普通の可算個の実数
（の二進表示で1になってる部分の桁番号集めたやつ）
の集合なんですね。
こんなのが整列不可能になる（ようなモデルが存在する）
って意外でした。
うーん、何がポイントなんだろ、
HOD(A) では M[G]の実数を任意有限個しか見分けられないというか、
それ以前に、この A の元については、 HOD(A) の中では、
そもそも A の要素 a を "x=a" みたいなそのまんまな論理式でしか構成できない風に感じたんですが、
むー、ちょっと証明の本質的なポイントが掴めませんでした。
うーん、でも、こういうの面白いです。
こうやって選択公理の否定のモデル作るんですね。
あっ、なんか楽しんで頂けたようで、うれしいです。
で、ほんとは私も直感的につかみきれてません (弱)。A 自体非常に一般的に定義されていて、もちろん M[G] では整列できるのですが、一般性により HOD(A) では要素間の区別がつきにくいような気はします。
なんとなく L(A) でも同様な事実が成立すると思うのですが、L(A) が下から相対化した論理式で定義可能性を積み上げてゆく必要があるのに比して、HOD(A) は (実際には大きな順序数への反映が必要ですが) 上から定義可能性を要求できるので扱いやすいのでしょうか。A の整列は定義可能性の観点からは絶望的な感じはしますので。
実はこの部分は一年くらい前に一度読んだのですが、いまいち強制拡大の直感ができていなかったのと、HOD の勉強不足で良くわからなかったのです。今回は丁度整列不可能性の話題があり、L とも関連があり良い機会なので、少し真面目勉強しました。というわけで、今後ともよろしくお願いします。ではでは。