(引用始め) Theorem 23.3 (Shelah). Let $\kappa \ge \aleph_3$ be a regular uncountable cardinal, and let $\lambda$ be a regular uncountable cardinal such that $\lambda^{+} < \kappa$. Then there exists a sequence $\langle c_{\alpha} : \alpha \in E_{\lambda}^{\kappa} \rangle$ with each $c_\alpha \subset \alpha$ closed unbounded, such that for every closed unbounded set $C \subset \kappa$, the set $\{\alpha \in E_{\lambda}^{\kappa} : c_\alpha \subset C \}$ is stationary. (引用終わり)
>かがみ さん その定理の"let $\lambda$ be a regular uncountable cardinal"からuncountableをinfiniteに変えてもそのまま正しいことがいえます。ただし、証明は少々いじらないといけないのですが。"Cardinal Arithmetic"で証明されていますが、例によって例のごとく読みやすいものではないです。これは理解可能なレベルですが。
もちろん簡単ではないのですが。それに、私の意見に同意されない方も多い、というよりもほとんどかと思います。
ただ、結果があまりにも衝撃的だったがために、未だに難しさが過大評価されているのではないかと思うわけです。もし、休憩や細かい解説をたくさん入れて説明していけば、よっぽど多くの人たちにわかってもらえるのではないかと。
とはいえ、私も勉強したのは５年位前で細部は豪快に忘れていているのですが（だめジャン）。
club guessingのλはωでもOKです。ですので\omega_2上にclub guessing sequenceは常に存在します（ここまでは確実）。4になるのは、club guessingを使った上にもう一回pigeon hole principleを使わないといけないから、のはずです。
あっ、すみません。またいいかげんかことを書いてしまいました。本文のステートメントは Jech本の442ページの下記定理のことです。Club guessing sequence とは少し違うようです。
(引用始め)
Theorem 23.3 (Shelah). Let $\kappa \ge \aleph_3$ be a regular uncountable cardinal, and let $\lambda$ be a regular uncountable cardinal such that $\lambda^{+} < \kappa$. Then there exists a sequence $\langle c_{\alpha} : \alpha \in E_{\lambda}^{\kappa} \rangle$ with each $c_\alpha \subset \alpha$ closed unbounded, such that for every closed unbounded set $C \subset \kappa$, the set $\{\alpha \in E_{\lambda}^{\kappa} : c_\alpha \subset C \}$ is stationary.
(引用終わり)
前回も書きましたが、最近どういう方面を勉強すれば良いかで悩んでいたので、まことに勝手なのですが、丁度よい方向性を頂けたと感謝しております。かなり時間を要すると思いますが、今後、基数に関する性質について勉強しつつ少しずつ書き進めたいと考えております。今回はお忙しいところコメントして頂きありがとうございます。というか無理やり書いていただいたような...。それでは今後ともよろしくお願いいたします。
「巨大基数公理」とか「無矛盾性の強さ」とか聞くと人はしばしば「それって本当に存在するんですか」なんていう形而上学的なトラップに足をとられがちであったり、強制法の理論の出発点にある「ZFCの可算標準モデルを考える」という表現が、ある種の省略表現あるいは符丁と考えざるを得ないとか、そういう「メタ数学的な難しさ」がpcf理論には少ないというのは、ありそうなことに思われます。「数学的な難しさ」はたっぷりありますけどね。
＞「それって本当に存在するんですか」
「本当」って言葉には大した意味がない（ｗ
数学の学習におけるトラップなんか枚挙に暇がない。
一番のトラップはこれだが
「トラップに引っ掛からなければ理解できる」
実際のところは、ありとあらゆるトラップにひっかかって
ボロボロになることが本当の理解なんだが。
あ、これもトラップか？ｗ
(てなさくさん) たしかにざっと眺めた感じ、他の集合論の分野に比べると、組み合わせ論的な論議が多く、メタ数学的な難しさというのは少ない感じがします。とはいえ、なんせ基礎体力が不足しているため、pcf 理論に関して理解とまでは行かずとも、証明を追いかけるだけでもなかなか大変そうです。
学生時代に解析学をさぼりにさぼったせいでしょうが、正直、実数に関する議論が苦手なのは事実です。もちろん Borel 集合や Lebesgue 積分、Baire の性質に関する事柄は一通り勉強したはずなのですが、ちっとも身についていません。それと論理も余り得意でないです。そいういう意味では特異基数問題のような純粋に集合論の分野の勉強の方が自分には合っているかも知れません。当面、この観点から集合論の種々考え方や、テクニックを学びたいと考えています。
本当は土日に第一回目ということで基数やその cofinality の基本的なことを書くつもりだったのですが、自明そうなことを厳密に書こうとすると存外面倒でさぼってしまいました。 看板だけ上げて中身がないというのも困りますので、来週こそはきちんと書く予定です。たぶん。
(通りすがりさん) 思うのですが、集合論に関して、Cantor の定理以外本当に理解できたものがあるのだろうか、ということが自分自身にとっての最大のトラップなのです。
>かがみ さん
その定理の"let $\lambda$ be a regular uncountable cardinal"からuncountableをinfiniteに変えてもそのまま正しいことがいえます。ただし、証明は少々いじらないといけないのですが。"Cardinal Arithmetic"で証明されていますが、例によって例のごとく読みやすいものではないです。これは理解可能なレベルですが。
>てなさく さん
私としては、（数年前に勉強したときに）その数学的な難しさ自体が過大評価されているように思えたわけなのですけれども。この点に関してはこれ以上ツッコミません。
>通りすがり さん
てなさくさんの言っているトラップはそれがまったくもって数学的なものでないという点で、通りすがりさんのおっしゃっているトラップとは質的に異なると思うのですが。「可測基数はいかなる意味で存在しているといえるのか？」なんて問題に対する理解がいくら深まっても、数学がわかることにはならないので。もちろん、哲学的な議論はそれ自体で有意義になりえますが。
あの定理は $\lambda$ が可算でも成立するのですか。もうすぐ Shelah 本が届くと思いますので、証明を読んで見たいと思います。理解可能かどうかは微妙なのですが、そこは時間をかけてでもなんとかしたいと考えてみます。今回はいろいろ教えていただきありがとうございます。今後ともよろしくお願い致します。
＞「可測基数はいかなる意味で存在しているといえるのか？」なんて問題に対する理解がいくら深まっても、数学がわかることにはならないので。
「いかなる意味で」の中に数学は全く入っていないと考える理由はありませんな。独断はカントルだけに許される特権ではないでしょうｗ