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反例としては、$\theta\geq\aleph_2$、$\kappa=\aleph_2$として、可算な$M\prec H(\theta)$をとってやれば、$M\cap\aleph_2$は順序数になりません。なぜならば、$\aleph_1$は定義可能なので$M$に属します。ここで、$M\cap\aleph_2$が順序数だとすると、$\omega_1\subseteq M$となって$M$が可算であることに矛盾します。こういう濃度の違いを利用しないような反例は、たぶん作るのがちょっと大変だと思います。
ありがとうございます。$M\cap\omega_1 \notin M$ と同じ論法で反例になるのですね。ところでコメントの例を $B_0$ として本文の論法を適用すると (2) の条件が矛盾することに気がつきました。sup(B_n \cap \kappa) の濃度は増える可能性があるので、本文の (2) は誤りであることを追記しました。
反例としては、$\theta\geq\aleph_2$、$\kappa=\aleph_2$として、可算な$M\prec H(\theta)$をとってやれば、$M\cap\aleph_2$は順序数になりません。なぜならば、$\aleph_1$は定義可能なので$M$に属します。ここで、$M\cap\aleph_2$が順序数だとすると、$\omega_1\subseteq M$となって$M$が可算であることに矛盾します。
こういう濃度の違いを利用しないような反例は、たぶん作るのがちょっと大変だと思います。
ありがとうございます。$M\cap\omega_1 \notin M$ と同じ論法で反例になるのですね。ところでコメントの例を $B_0$ として本文の論法を適用すると (2) の条件が矛盾することに気がつきました。sup(B_n \cap \kappa) の濃度は増える可能性があるので、本文の (2) は誤りであることを追記しました。