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うちでは靴下を洗濯するたびに一足のペアの片方が紛失します。靴下紛失公理のモデルです。
靴下紛失公理のモデルは少なくとも二つ存在することが証明されたようです。http://evariste.jp/kagami/diary/0000/200705.html#20070505-1
これは Tom Jech の本には載っていないかもしれませんが、実は C_2 と C_4 は ZF で同値になることが簡単に証明できます。
実は n<m のとき C_m → C_n が成り立つとは限らないのかそれとも自明に成り立つのか分からなくて困っていました。あえて指摘して頂いたということは成立しない場合もあると考えて良いのかなと思っています。今 C_2 → C_3 が成り立つとは限らない証明の準備のところを勉強しています。そこ分かった時点でもう一度真面目に考えてみます。色々教えて頂きありがとうございます。
C_2→C_4 わかりました。ひとヒネリあって面白かったです。
わたくしが考えた C_2→C_4の証明を見て思うに、集合族の濃度にたとえば「可算族」というような制限をつけると話がちがってきそうな気が・・・意外と奥が深いかもですねこりゃ。
私の勘違いでなければ The Axiom of Choice の C_2 → C_4 の証明は集合族の cardinal には余り依存しないような気がします。たとえば C_2 が ω 族に対して成立すれば C_4 も ω 族に対して成立します。一般の基数についても同様です。てなさくさんはどのような方針で証明されたか教えて頂けるとうれしいです。余談ですが本文の C_n が成立する条件の逆も成り立つそうな。最初の条件が成り立たない場合 C_k (k<=m) に対して C_k が成立して C_n が成立しないモデルが作れるそうです。講釈失礼いたしました。なさくさんが楽しめるネタを提供できたのは大変うれしいです。
かがみさんにメールしようとしたのですが未明にありがちなことでSMTPサーバが寝ているらしく送信できませんでしたので、自分のWebサーバにPDFファイルを置きました。興味のある方はどうぞご覧ください。http://www.tenasaku.com/tenasaku/tepipi/resource/091029a.pdf
もう気付かれているかもしれませんが、n<m のとき C_m → C_n が成り立つとは限りません。たとえば C_4 -> C_3 は ZF から証明できません。もしこれが証明できたとすると、てなさくさんのノートにもあるように、C_2 -> C_4 ですから、C_2 -> C_3 が証明できてしまうことになってしまうからです。
てなさくさん。ふちのさん。コメントありがとうございます。選択公理使えないんだ...。
昨晩述べた疑問 [てなさく 2009-10-28 21:18:26] に関連してノートの続編を書きました。よろしければご覧ください。http://www.tenasaku.com/tenasaku/tepipi/resource/091029b.pdf
恐ろしく返信が遅れて申しわけございません。双方読ませて頂きました。ありがとうございます。私自身はしばらくの間 C_2 -> C_3 の証明不可能性にこもります。分からないときはよろしくお願いいたします。
うちでは靴下を洗濯するたびに一足のペアの片方が紛失します。靴下紛失公理のモデルです。
靴下紛失公理のモデルは少なくとも二つ存在することが証明されたようです。http://evariste.jp/kagami/diary/0000/200705.html#20070505-1
これは Tom Jech の本には載っていないかもしれませんが、実は C_2 と C_4 は ZF で同値になることが簡単に証明できます。
実は n<m のとき C_m → C_n が成り立つとは限らないのかそれとも自明に成り立つのか分からなくて困っていました。あえて指摘して頂いたということは成立しない場合もあると考えて良いのかなと思っています。今 C_2 → C_3 が成り立つとは限らない証明の準備のところを勉強しています。そこ分かった時点でもう一度真面目に考えてみます。色々教えて頂きありがとうございます。
C_2→C_4 わかりました。ひとヒネリあって面白かったです。
わたくしが考えた C_2→C_4の証明を見て思うに、集合族の濃度にたとえば「可算族」というような制限をつけると話がちがってきそうな気が・・・意外と奥が深いかもですねこりゃ。
私の勘違いでなければ The Axiom of Choice の C_2 → C_4 の証明は集合族の cardinal には余り依存しないような気がします。たとえば C_2 が ω 族に対して成立すれば C_4 も ω 族に対して成立します。一般の基数についても同様です。てなさくさんはどのような方針で証明されたか教えて頂けるとうれしいです。余談ですが本文の C_n が成立する条件の逆も成り立つそうな。最初の条件が成り立たない場合 C_k (k<=m) に対して C_k が成立して C_n が成立しないモデルが作れるそうです。講釈失礼いたしました。なさくさんが楽しめるネタを提供できたのは大変うれしいです。
かがみさんにメールしようとしたのですが未明にありがちなことでSMTPサーバが寝ているらしく送信できませんでしたので、自分のWebサーバにPDFファイルを置きました。興味のある方はどうぞご覧ください。
http://www.tenasaku.com/tenasaku/tepipi/resource/091029a.pdf
もう気付かれているかもしれませんが、n<m のとき C_m → C_n が成り立つとは限りません。
たとえば C_4 -> C_3 は ZF から証明できません。もしこれが証明できたとすると、てなさくさんのノートにもあるように、C_2 -> C_4 ですから、C_2 -> C_3 が証明できてしまうことになってしまうからです。
てなさくさん。ふちのさん。コメントありがとうございます。選択公理使えないんだ...。
昨晩述べた疑問 [てなさく 2009-10-28 21:18:26] に関連してノートの続編を書きました。よろしければご覧ください。
http://www.tenasaku.com/tenasaku/tepipi/resource/091029b.pdf
恐ろしく返信が遅れて申しわけございません。双方読ませて頂きました。ありがとうございます。私自身はしばらくの間 C_2 -> C_3 の証明不可能性にこもります。分からないときはよろしくお願いいたします。