コメントありがとうございます。この証明は引用した論文で「こうした方が簡単」と一言触れられている方法なのですが、線型空間の基底と選択公理の「一つずつ取り出す」概念が綺麗に対応して非常に見通しが良いです。一般の証明は Blass, Andreas (1984). "Existence of bases implies the axiom of choice". Axiomatic set theory, Proc. AMS-IMS-SIAM Jt. Summer Res. Conf., Boulder/Colo. 1983, Contemp. Math. 31. pp. 31–34. に記載されているようです。そこでは ZF |- (AMC -> AC) である事実が使われています (AMC は axiom of multiple choice) そして Jech 本 (The Axiom of Choice) によるとZFA からは AMC が AC を導くとは限らないという事情のようです。一度まとめたいと考えています。
面白いっ!! しかも明快!!
単なる「基底の存在」から選択公理を導くのは、Urelement を認める ZFU では不可能で ZF では可能、とかいう厄介な話だったように思います。ただ、これは耳学問ですので、どこかでウラを取っておきますね。
コメントありがとうございます。この証明は引用した論文で「こうした方が簡単」と一言触れられている方法なのですが、線型空間の基底と選択公理の「一つずつ取り出す」概念が綺麗に対応して非常に見通しが良いです。一般の証明は Blass, Andreas (1984). "Existence of bases implies the axiom of choice". Axiomatic set theory, Proc. AMS-IMS-SIAM Jt. Summer Res. Conf., Boulder/Colo. 1983, Contemp. Math. 31. pp. 31–34. に記載されているようです。そこでは ZF |- (AMC -> AC) である事実が使われています (AMC は axiom of multiple choice)
そして Jech 本 (The Axiom of Choice) によるとZFA からは AMC が AC を導くとは限らないという事情のようです。一度まとめたいと考えています。