2007年3月

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2007年3月31日(土)

Paul Cohen 死去
3月23日に亡くなられたそうです。 http://www.ams.org/ams/inmemory.html#cohen
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2007年3月30日(金)

眼鏡作った
最近眼鏡をかけた状態で本を読むのが不可能な状況に陥り、かといって眼鏡をはずして読むと、10cm 位まで近づけないと読めない。さらにその場合両目では全く焦点が合わないので、片目で読む必要があるという非常に不便な状況なのです。
さらに PC 上の小さい文字も見づらくなってきたし (MacBook のくるくる画面拡大のお世話になりっぱなしです)。一番困るのは勉強をするときです。本に目を近づけないと読めないので、ノートに写しにくいのです。写す分を記憶してから今度はノートに目を近づけて書く。両方同時に見ることが出来ないのです。これでは余りに不便です。なんか最近いまいち勉強の調子が上がらないのはこれが原因かも (違うかも知れませんが)。
というわけでもう一つ眼鏡を作りました。近視矯正用ですが実質老眼鏡です。現在使用している眼鏡は矯正後の視力が1.2 程度で (眼鏡をかけないと 0.01 位) 遠くのものを見るにはちょうど良いのですが、近くのものが見えないし、若干矯正が強過ぎ目が疲れるようです。新しく作ったのは一番良く見えるのが 40cm 位の距離だそうで、遠方に関しての視力は 0.5程度になります。車を運転しない限り日常生活には困りません。両刀使いでも良いし。割と強い乱視も入ってるので、出来上がりは来週になりそうですが、眼鏡屋さんのレンズを動的にいれかえるやつで実際に本を読んだところ、非常に快適です。これで勉強 (あと仕事ね) が進むようになると良いのですが、はてさてどうなることやら、こればかりは分かりません。
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2007年3月29日(木)

選挙
あちらこちらで選挙をしてるみたいで、神奈川県でも知事選が行われているるようです。で、ここで候補者についてどうのこうとかは書きませんが、考えてみると私は立候補できないのです。もちろん今回の知事選にはもう出れませんが。そういう理由ではなく、さらに出る気があるわけないとか、お金がないとか、出ても当選するわけがなく、恥をさらすだけということよりはるかに深刻な状況なのです。
肩が痛くて万歳ができない (笑)

いやはやこれでは測度 0 の当選確率とはいえ情けなさ過ぎます。というか本物の政治屋さんが五十肩になったらどうするのだろう。引退する以外道はないと思うのですが、五十肩で引退という話は聞いたことがありません。その割に年寄りが多いので、五十肩に見舞われている人も何人かいるはず。選挙当日には痛み止めでも打つのだろうか。大いなる謎ですな(^^。
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_ni-capo [かがみさんが心配？なさっているのは、当選したときの状況でしょうか？だとすれば、万...]

_かがみ [ni-capo さんこんにちは。あれっ、当選した人って万歳してませんでしたっけ。...]

2007年3月27日(火)

注文した本
ゲーデルと20世紀の論理学 (3) 不完全性定理と算術の体系
確かさを求めて—数学の基礎についての哲学論考
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2007年3月26日(月)

つくば出張
今日から明日にかけて、一泊二日でつくば出張です。
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2007年3月25日(日)

さよならしらたまちゃん
二年前からおうちにいたハムスターが死んでしまいました。安らかに眠りたまえ。
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2007年3月24日(土)

標準的自然数
2007年3月13日のコメント欄に Standard Model さんからコメントを頂きました。ありがとうございます。で、 Standard Model さんの言われる通り、数学 (内部) で考える場合、「標準的自然数」はそのコンテキストで考えている、集合論の理論、もしくはモデルにおける $\omega~$ で良いような気がしてきました。少なくとも形式的に考える場合、他に選択肢がなさそうに思います。
で、ここからはある意味数学外の疑問と言うか、単に私が知らないだけなのかも知れませんし、論理学やモデル理論に関し集合論の勉強で必要になるたび、つまみ食いしている程度の状況なので、本当に見当はずれなのかも知れません。さらに (ト) 的な内容になってしまうかも知れませんが、ご容赦の程を。
つまり集合論の $\omega~$ を「標準的自然数」と考えた場合、その辺りは (形式化された) 計算理論とも結びついてくると思いますし、計算可能等の概念にも関連してくると思うのです。ところが、集合論のおける $\omega~$ について、我々の通常の直感で考える「自然数」を忠実に表現している保証は全くないわけで、(私自身数学の他方面の応用について、建前上は関心がないというスタンスをとっていることはおいといて) それが本当に「機械に計算できる」という概念と結びつくのか良くわからなくなってしまうのです。この辺りは「数学的な概念が特に理論物理において大成功をもたらしている」こととの類推で考えれば、現実の応用において問題が生じないし、どちらにしろ形式化されてしまえばその実体がなんであるかはどうでも良い、と考えることが可能かも知れませんが。うーん...。
ところで、どうしてこんなことを考え始めたかを列挙しますと、

(1) $L~$ の勉強をしていて、本当の論理式での $\vee~$ の有限列と形式化された論理式での同様の有限列に乖離があることを最近知った。
(2) ゲーデルが、「数学的には一番分かりにくいと思われる」チューリングマシンを他の「計算可能概念」に比して、非常に高く評価していたという耳学問。これは上の疑問とは直接関係なさそうですが。
(3) 自然数の「非標準モデル」についてネットでの話題をいくつか見かけた。

あたりです。集合論もそうですが、論理学やモデル理論は明らかに勉強不足です。とはいえ、なかなか集合論の基本的な部分で手一杯というのが情けないというか、つらいところではあります。
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_通りすがり [問題は「標準的自然数」の形式的定義によって、何を期待するかです。Standard...]

_かがみ [通りすがりさん、こんばんは。あれっ、話が通じてないですか？言及されている部分は...]

_通りすがり [すみません、読み取れませんでした。「我々の通常の直感で考える「自然数」を忠実に表...]

_かがみ [通りすがりさん、こんにちは。こちらこそ分かりにくい表現で申しわけございませんでし...]

_通りすがり [おっしゃるとおり、計算可能性は、実質の話なので、形式的定義に馴染まないでしょう。...]

_かがみ [通りすがりさんこんにちは。確かにこの辺りを考えると案外微妙というか、訳が分からな...]

2007年3月22日(木)

はじめての固有値計算

ちと仕事で 3x3 実対称行列の固有値を求める必要が発生。速度が命です。とある方が教えて下さった http://math.nist.gov/tnt/documentation.html のテンプレートクラスを使用して実験してみました。で、C++ のテンプレートの作法が良くわからないので、試行錯誤でやっとこコンパイルを通したのが下のソース。

(sample.cc)
--------------------------------------------------------------
#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include "tnt.h"
#include "jama_eig.h"

using namespace std;
using namespace TNT;
using namespace JAMA;

int main(int argc,char **argv)
{
    const int M=3;
    int i,j,count;

    Array2D<double> A(M,M);      /* create MxM array */
    Array2D<double> B(M,M);      /* create MxM array */
    Array1D<double> C(M);
    /* 左上半分を充填 */
    for (i=0;i!=M;i++) {
        for (j=0;j<=i;j++)
            A[i][j]=random()/(double)(1LL<<31);
    }
    /* 対称行列にするため右下半分にコピー */
    for (i=0;i!=M;i++) {
        for (j=i+1;j!=M;j++)
            A[i][j]=A[j][i];
    }
    /* ベンチマーク */
    for (count=0;count!=1000000;count++) {
        /*    cout << A << endl; */
        Eigenvalue <double> E(A);  /* A の固有値と固有ベクトルを求める */
        E.getV(B);                     /* 固有ベクトル行列獲得 */
        /*        cout << B << endl;  */
        E.getRealEigenvalues(C);       /* 固有値ベクトル獲得 */
        /*        cout << C << endl; */
    }
    return(0);
}
--------------------------------------------------------------

MacBook の CPU を一つ使って上の計算百万回実行が 4秒程。一秒間に二十五万回 3x3対称行列の固有値と固有ベクトルを求めることができるわけです。これって速いんですか？良くわかりません(笑)。ちなみに、上の M を 100 として (100x100 行列) 一回りだけ実行すると 0.03秒程。これって速いんですか？良くわかりません(笑)。

固有値関連の具体的な計算は、学生時代テスト前に、2x2行列のみ仕方なく行っただけというのは内緒です。可換環を係数とする加群上の線型写像とそれに伴うコホモロジー等ははそれなり勉強しましたが、行列って真面目に勉強したことないです(弱)。

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Suicaその後
結局奥さまに使ってもらうことにしました。そもそも残金精算で損をする以前の話として、このような不祥事を起こしてるので、はい！あれこれ言う資格はありません(笑)。
(関連リンク) 2007年3月19日 PASMO使ってみた
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2007年3月20日(火)

Lシリーズ
亀のごとくのろい歩みですが、ゲーデルの $L~$ に関して勉強中です。いやはやそれにしても時間がかかること。で、やはり何らかの形で勉強した内容を公開したいとは考えているのです。ただし、 $L~$ で連続体仮説と選択公理が成り立つ事実までとしても、充足関係とそれに付随する種々の論理式に対するコード化は必須であり、それを細々書いていると、私の力ではテキストの丸写しということになってしまいます。この辺り現在考慮中なのですが、おそらくコード化の定義辺りまでをそれなりきちんと記載し、細かい証明は省略するという形になると思います。近々何らかの形で開始し、うまくゆかないようなら、別途方法を考えるということで。それにしても、一般的にゲーデルの他の二つの業績 (完全性定理と不完全性定理) に比して、 $L~$ の人気が今ひとつという感じているのは私だけでしょうか。数学的には一番奥が深い感じがするのですが。
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2007年3月19日(月)

PASMO使ってみた
私の通勤経路は、藤沢から登戸まで小田急線、登戸から分倍河原まで JR です。定期の場合、一本にまとめることができ、それほど不便ではないのですが、なんせつくばへの出張が多く、その場合定期と Suica だけではまかない切れず、毎回切符を購入したり、定期の乗り越し清算をしたりと、不便な面もあったのです。
ところがうわさによりますと、最近私鉄で導入された PASMOは Suicaと相互運用性があるそうで、さらに駅員さんに聞いたところ、定期に関しても小田急と JR の乗り継ぎを一本化できるそうなのです。というわけでさっそく購入 (保証金みたいなの500円) して定期の内容もコピーしました。
世の中何でも便利になれば良いとは思っていませんが、合理性がある範囲で便利になる場合どうしても手が出てしまいます。意志薄弱です。Suicaの方は解約して、残金と500円を返してもらう予定ですが、なんせ JR のみどりの窓口はいつも混んでて、待ち時間が長いのが欠点です。まあこんどひまなときに。
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_Y.Kumagai [私鉄って何ですか(笑)なるほど、都会だとそういう悩み事があるのですね。こちらは選...]

_Joe [＞かがみさんSuicaやPASMOは、残金がある状態で払い戻しをすると手数料\\...]

_かがみ [Y.Kumagai さんおはようございます。私鉄って電車なんですよ (笑)で、福...]

_かがみ [Joeさんコメントありがとうございます。そうですか、手数料がかかるのですか。確か...]

_通りすがり [細かい話ですが、手数料の\\210ってもともと切符の払い戻しのときのものなんです...]

_ni-capo [PASMOはSuicaと相互利用できると聞いて、じゃあSuicaを持っていれば、...]

_かがみ [通りすがりさん、こんばんは。そうですか。あれは払い戻し手数料なのですか。北海道 ...]

_かがみ [ni-capo さんこんばんは。あれっ、ほんとだ。私が PASMO にしたのは単...]

_Joe [＞ni-capoさんSuicaで私鉄や都バスに乗れますよ！ただし、バスの場合は古...]

_ni-capo [＞Joeさんお教え下さってありがとうございます。PASMOに買い換えなくてもよい...]

2007年3月15日(木)

ロッサーの不完全性定理
一昨日のコメントでロッサーの不完全性定理について通りすがりさんに教えて頂きましたが、丁度私自身前原先生の本でざっと眺めたので、結果のみやや表現を変更し引用します。
(ロッサーの不完全性定理) まず $\mathrm{Neg}([x])~=~[\neg~x]~$ を満たす関数を体系内で定義することが可能で、さらにこの関数は数値別に表現可能であることが証明できます。そしていつもの通り「 $x~$ は論理式であり $y~$ はその証明図である」ことを表現する論理式を $B(y,x)~$ とします。そして論理式 $B^{\ast}(y,x)~$ を
$B(y,x)~\wedge~\forall{z\le{y}}(\neg(B(z,\mathrm{Neg}(x)))~$
と定義し $\neg~\exists{y}(B^{\ast}(y,x))~$ に対し対角化を行った論理式を $G~$ とすると
$G~\leftrightarrow~\neg~\exists{y}(B^{\ast}(y,[G]))~$
が成り立ち、 $G~$ がω無矛盾に無関係に決定不可能な論理式となるそうです。さらに直感的には $B~$ と $B^{\ast}~$ は (証明図の途中に否定の証明は現れないという意味で) 似たようなものですが、驚くべきことに次の「クライゼルの注意 (もとねたはウィトゲンシュタインらしい)」が成り立つそうです。
$\neg~\exists{y}(B^{\ast}(y,[0=1]))~$ は証明可能
妥当であるかどうかは別として、解釈を変更すれば、「自分自身が矛盾しない」ことが証明可能なわけです。この辺りは15年程前にざっと読んだのですが、全然理解不足です。今度真面目に読んでみたいと考えています。
(関連リンク) さかいさんの日記 (2007年3月13日)
(参考文献) 前原昭二著数学基礎論入門
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_通りすがり [体系における証明検査述語BとB*が外延として同じものだとしても、それを体系内で証...]

_かがみ [通りすがりさん、こんにちは。関係 B(m,n) と B*(m,n) は個別の具体...]

_Standard Model [＞妥当であるかどうかは別としてこのあたりのことは「確かさを求めて」（培風館）のR...]

_通りすがり [Standard Modelさんに質問ですが、体系内の証明のカット除去可能性は、...]

_Standard Model [＞通りすがりさん私は別に特にこういう話題に詳しいわけではないので、通りすがりさん...]

_かがみ [Standard Model さん、こんにちは。反応が遅れて申しわけございませ。...]

2007年3月14日(水)

出張ではまる
いやはや、おおはまりで出張が一日延びてしまいました。
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2007年3月13日(火)

さらにω矛盾
つくばより。おとといおおざっぱなことを書きましたが、今日もおおざっぱです。おとといの直感の根拠としては $N~\subset~M,\,N\neq{M}~$ がともに自然数論の公理を満たすモデルとするとき $N~$ は $M~$ で定義不可能ということです。実際 $M~$ で数学的帰納法が成立するので、 $N~$ を定義したと思った瞬間 $N=M~$ です。
ただし、さかいさんの疑問は $M~$ の中で理論 $T~$ を定義した場合のことですので、少々事情が異なります。さらにここからいまいち自信がないのですが、 $T~~~$ での証明可能性に対応する論理式を構成するとき、数学的帰納法を使い、さらに直感的な自然数に対する数学的帰納法と、理論での数学的帰納法との対応が良好である事実を使用していると思うのですが、上に書いた事情で $M~$ では良好な関係が成立しないと思われます。 $M~$ で $T~$ からの証明可能性を定義しても、本当に $T~$ での証明可能性を表現しているか、ということで元の意味は失われそうです。全く自信なしですが。「本当に有限」という概念が体系内で定義不可能なのがネックになりそうな。全然違うかも知れませんが。
というかロッサーの不完全定理はどうして成り立つのだろう。忘れました (弱)。さらに、余り大きな声では言えませんが、どうしてチャーチのテーゼが成り立つと信じられるのかも分かんなくなってきました (笑)。こちらは勉強不足ということで。
(付記) と書き終わったら、さかいさんのところに正解が。形式的にと自分で言ったのに、意味論的に考えてはまったのは私のようです。
(さらに付記) 上の最後の疑問で、要するに私がはまっているのは、前にも書きましたが、「標準的自然数」のフォーマルな定義がそもそも存在するのかということなのです。いくら考えても分からないです。
(関連リンク) さかいさんの日記
コメント
_さかい [ロッサーの不完全定理がどうして成り立つのか私も不思議です。聞くところによると、ゲ...]

_通りすがり [http...]

_かがみ [さかいさん、こんにちは。どうも色々いい加減なことを書き、申しわけございませんでし...]

_かがみ [通りすがりさん、こんにちは。ローサーの不完全性定理は丁度前原先生の「数学基礎論入...]

_Standard Model [標準的自然数に関してはかがみさんの以前の記事からちょっと考えていたのですが、何と...]

_かがみ [Standard Model さん、コメントありがとうございます。いまいち的確な...]

_かがみ [(2008年6月26日) この日のコメント欄に集中的にスパムが入るので、この日の...]

2007年3月12日(月)

つくば出張
今日から一泊二日でつくば出張です。
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2007年3月11日(日)

モデルでの真偽
さかいさんのブログにあんまり真面目に考えてないつっこみです。いや、少しはまじめに考えたのですが、明確な定式化までは至らず。
理論のモデルを考えることにより (そのモデルでは) 真偽の概念を表現できるというのは確かに正しいのですが、「真偽」という直感に頼りすぎるとはまるかも知れません。あくまでも形式的な議論が必要かと思います。そもそも今回の場合、モデル内で、(形式化された) 理論がω矛盾とか定義可能なのだろうかと疑っております。いずれにしても、証明不可能論理式に関しては、ω矛盾の方に拡張した場合、直感的には「超自然数」が証明図になるという感じでしょうか。
コメント
_通りすがり [向こうでも書きましたが、?Gが真であるモデル（ω矛盾）は、「証明可能なのに偽」と...]

_かがみ [通りすがりさん、こんばんは。ω矛盾するモデルは最初はびっくり仰天でした、最近はあ...]

2007年3月10日(土)

列の難しさ
いや、当然のことながら最近とみに神経質になり、自明なことを長考したり色々あります (汗)。そうは言うものの、自明でないことを自明と思ったり、あまくさえ定義不可能な列を考えないようにしないと。
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2007年3月9日(金)

自己出力プログラム (続き)
おとといの続きですが、教えて頂きまして、こういうプログラムを Quine というそうです。有名な論理学者、ウィラード・ヴァン・オーマン・クワイン由来の名前のようです。で、結論ですが、やはり世の中好きものが多いらしく、こちら (Quine Page) に大量のプログラムが掲載されております。面白いのを引用しますと。
```
Author:  Erkki Ruohtula (eru@tnso04.tele.nokia.fi)
-------------------------------------------------------
#define n(v,w) v(#w"\nn("#v","#w")");}
n(main(){puts,#define n(v,w) v(#w"\nn("#v","#w")");})
-------------------------------------------------------
```
そかっ、マクロを使うという作戦がありました。実は上の意味は良くわかんないのですが、実行するとちゃんとおんなじものが出力されます。ただし、これは printf() を使ってはいないのですが、なんとなくマクロが反則っぽいです (笑)。
それより驚いたのは次。
(コード中の改行はすべて削除して実行して下さい)
```
Author: Dave English  
---------------------------------------------------------------------
char x[]=" main() { int i; putchar(99); putchar(104); putchar(97); 
putchar(114); putchar(32);putchar(120); putchar(91); putchar(93); 
putchar(61); putchar(34); for(i=0; i<strlen(x); ++i) putchar(x[i]); 
putchar(34); putchar(59); for(i=0; i<strlen(x); ++i) putchar(x[i]);
putchar(10); }";main() { int i; putchar(99); putchar(104); putchar(97); 
putchar(114); putchar(32); putchar(120);putchar(91); putchar(93); 
putchar(61); putchar(34); for(i=0; i<strlen(x); ++i) putchar(x[i]);
putchar(34); putchar(59); for(i=0 ; i<strlen(x); ++i) putchar(x[i]); 
putchar(10); } 
---------------------------------------------------------------------
```
なんと putchar() のみで実行できるのですか！これはびっくり仰天です。というわけでおとといの私の予想はおおはずれだったのでした。実は上のプログラムの意味も良くわからないのが情けないです (弱)
コメント
_通りすがり [Quine\'s Paradoxというのがあるそうです。http...]

_かがみ [通りすがりさん、こんにちは。GEB は 20年以上前に読みましたが、たしかに「ク...]

2007年3月8日(木)

Lκの基数 (続き)
分かってしまえばほとんど自明といういつものパターンでしたが、基数 $\kappa~$ に対する $L_\kappa~$ の「中での」基数に関するまとめです。このような場合、 $L~$ の $\kappa~$ 未満の基数が $L_\kappa~$ の基数となるのは本当に自明です。実際 $\lambda~\in~L_\kappa~$ が $L_\kappa~$ の基数でないと仮定すると $\alpha<\lambda~$ と $L_\kappa~$ での全射 $f:\,~\alpha~\rightarrow~\lambda~$ が存在しますが、これは $L~$ での全射となります。基数という性質が $\mathrm{\Pi}_1~$ 論理式で記述可能である帰結でもあります。以降 $V=L~$ を仮定します。逆についてはゲーデルの圧縮レンマが必要と思われます。
(ゲーデルの圧縮レンマ)
$\gamma~>~\omega~$ を極限順序数し $M~\prec~L_\gamma~$ を初等的埋め込みとします。このとき $M~$ の推移的崩壊 $\pi:~\,~M~\rightarrow~N~$ を考えると $N~=~L_\beta~$ を満たす極限順序数 $\beta~>~\omega~$ が存在する。
$\lambda~\in~L_\kappa~$ が $L~$ での基数ではないと仮定します。このとき $\alpha~<~\lambda~$ と $L~$ での全射 $f:\,~\alpha~\rightarrow~\lambda~$ が存在します。ところで $\alpha,\lambda~\in~L_\kappa~$ なので $\xi~<~\kappa~$ が存在し $\alpha,\lambda~\in~L_\xi.~$ 従って $\alpha~\times~\lambda~\in~L_{\xi~+~3}~$ (本当は $\alpha~\times~\lambda~\in~L_{\xi~+~2}~$ である)。 $\beta~=~\xi~+~3~$ とすると $f\subset{\alpha\times\lambda}~$ なので $f~\subset~L_\beta.~$ 従って今、極限順序数 $\gamma~\ge~\kappa~$ で $f~\in~L_\gamma~$ なるものをとると $L_\beta~\cup~\{f\}~\subset~L_\gamma~$ が成り立ち $L_\beta~\cup~\{f\}~$ は推移的。するとスコーレムの定理により、集合 $M~$ で $L_\beta\cup\{f\}~\subset~M~\prec~L_\gamma,~|L_\beta|~=~|M|~$ を満たすものが存在します。ここで $M~$ の推移的崩壊 $\pi:\,M~\rightarrow~N~$ を考えると $L_\beta\cup\{f\}~$ は推移的であったので、この上で $\pi~$ は恒等写像。さらにゲーデルの圧縮レンマにより、極限順序数 $\delta~$ が存在し $N=L_\delta,~|\beta|=|\delta|~$ を満たします。 $\pi~$ は $f~$ を動かさないので $f~\in~L_\delta~\subset~L_\kappa.~$ 従って $f~$ は $L_\kappa~$ での $\alpha~$ から $\lambda~$ への全射となり $\lambda~$ は $L_\kappa~$ での基数となりません。
なんか最近 $L~$ に関して非常に断片的で、さらに自明なことばかり書いてますが、慣れるまでなかなか大変、ということでご容赦の程お願い致します。
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2007年3月7日(水)

自己出力プログラム
下のプログラムは、前にもこの日記で書いたことがあるかも知れませんが、私が大分前に作ったもので、自分自身と同じ内容を出力します。
```
$ cc same.c
$ ./a.out >same.out
$ diff same.c same.out
$
```
余り見やすくないですが、文字 'L' (=0x4c) は改行に置換され、'Z' (=0x5a) はダブルクオーテーションに置換されます。strsed() は文字列の中の文字 ch1 を文字 ch2 に置換して副作用を返す関数で (どうして戻り値が int なのだろう？まあ気にしない) strcpy2() は strcpy() と同じです。ライブラリー依存を極力避けたかったので記述したのだと思います。
実際書いてみようと思うと分かりますが、このようなプログラムの実装には「コード化とメタ機能」は必須のようで、上に書いたように ascii コードにべったり依存していますし、メタ機能としては printf() のフォーマッティングを使用しています。
(分からないこと) 下のプログラムは出力に printf() という強力なメタ機能を使用しています。長くなるのでとてもやる気がしないのですが、printf() と同等の関数を自前かつインラインで実装すればなんとかなるのでしょうか。頑張れば putchar() のみで実装できるとか。なんかだめな気がするのですが、本当のところご存知の方らおられましたら、教えた頂けると大変うれしいです。
下の記述をそのままファイルにしたのはこちらです。
```
(File same.c)
---------------------------------------------------------------------------
#include <stdio.h>

int main()
{
    char ftmt0[]="#include LLint main()L{L    char ftmt0[]=Z%sZ;LL    char ftmt[1024];L    char str[1024];L    strcpy2(ftmt,ftmt0);L    strsed(ftmt,0x5a,0x22);L    strsed(ftmt,0x4c,0x0a);L    strcpy2(str,ftmt0);L    printf(ftmt,str);L    return(0);L}Lint strsed(char *p,int ch1,int ch2)L{L    for (;*p;p++) {L        if (*p==ch1)L            *p=ch2;L    }L}Lint strcpy2(char *d,char *s)L{L    for (;*s;s++,d++)L        *d=*s;L    *d=0x00;L}L";

    char ftmt[1024];
    char str[1024];
    strcpy2(ftmt,ftmt0);
    strsed(ftmt,0x5a,0x22);
    strsed(ftmt,0x4c,0x0a);
    strcpy2(str,ftmt0);
    printf(ftmt,str);
    return(0);
}
int strsed(char *p,int ch1,int ch2)
{
    for (;*p;p++) {
        if (*p==ch1)
            *p=ch2;
    }
}
int strcpy2(char *d,char *s)
{
    for (;*s;s++,d++)
        *d=*s;
    *d=0x00;
}
---------------------------------------------------------------------------
```
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2007年3月6日(火)

いわゆる社会人の勉強
とある場所で、社会人の勉強はそれなり大変なのでは、という話題があったので。そもそも、私って一応社会人なのかとか、そもそもいまやってることが勉強というレヴェルなのか、ということはおいといていくつか感想を。

能力について
これはもう若い頃とは比べものになりません。実感としては論理能力はともかくとして、短期記憶と長期記憶双方にわとり並なのがつらいかも。そうはいうものの、私の場合、もともと能力はないわけであり、その辺りはなんとか折り合いをつけながらということで。
時間の確保
これが一番つらいかも知れません。なんのかんので土日位しかまとまった時間がとれないし、仕事が忙しいと土日は疲れて集中できないとか。
本なり文献なり
手に入りやすい本の場合、普通の学生さんより財力はあるかも知れないので、そちらは問題ありません。ですが古い文献や論文を調べたい場合、図書館を使いにくいのが難点です。これって、例えば私の住んでるところでアクセスが良さそうな数学教室は東京大学だと思うのですが、有料 (あんまり高いと困る) で本を閲覧させてもらったり、場合によっては論文のコピーをさせてもらえる制度ってあるのだろうか。こんど調べてみようかな。どうちらにしても、現行、自分が持っている本を読むのが精一杯なので、余り問題にはなりませんが (笑)。
インターネットがなかったら
私はアンテナが弱く、人脈も全くないし、かつ出不精。なので、ネットがなかったとしたら、この年になり数学の勉強をすることなかったに違いありません。後、自分の勉強結果を、その品質はおいといて、発表できるというのはやはり大きいです。専門家の方の助言を頂ける場合もあり、本当にありがたい限りです。
セミナー
これがないのは痛いですなあ。そうは言うものの、例えば本当に何人かでセミナーを行える環境があったとしたら、それはそれで荷が重そう。正直「納期」がある勉強は厳しいのです。今はのんびり勉強できるので楽しめているという面もあるので。
テスト
実はこれがないのも本当は良くないのです。そうはいうものの本当にあったらやはり負担が大きくなるし。上と同じような感覚かも知れません。
というわけで、当たり前のことをだらだらと書きましたが、人様と競争する必要もないし、これが分からないと進学や就職ができない等悩む必要もないし、それなり楽しくやってます。現実には「わっ、分からない〜」という状況になると思いのほか悩むしストレスもあるのですが、まあすぐに分かるようなことはつまんないということもありますので。
なんのかんので数学好きなのでしょうなあ(^^。
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2007年3月5日(月)

そもそも V_α では
土曜日の続き。そもそも $V_\alpha~$ の内部がどうなっているのか、いままで漠然と考えてきたことに関し、大量の間違いがあるかも。過去に記載したこと等、真面目に考え直さないと。
(追記) 土曜日の基数の話題について。そもそも一般になぜ $L~$ で置換公理が成立するか分析します。まず $\varphi(x,y)~$ を論理式とし、 $\forall{x~\in~L}\exists{y~\in~L}(\varphi^L(x,y))~$ を仮定します。今 $u\in~L~$ とし、各 $x\in~u~$ に対し $\alpha_x~=~\mathrm{min}(\{\xi\,:\,\varphi^L(x,y)~\wedge~y\in~L_\xi\})~$ とすると、これら全体は $V~$ での置換公理で $V~$ の集合となり $\alpha_x\,(x~\in~u)~$ の上限 $\gamma~$ をとると $\forall{x~\in~u}\exists{y~\in~L_\gamma}(\varphi^L(x,y)).~$
上記を参考に、正則基数 $\kappa~$ に対し $L_\kappa~$ で置換公理が成り立つ証明。 $\kappa~$ を正則基数とします。上記証明で $L~$ を $L_\kappa~$ に置換した論理式 $\varphi^{L_\kappa}(x,y)~$ を考え、束縛の領域等もすべて $L_\kappa~$ に制限すると、 $(\alpha_x)_{x\in~u}~$ は $L_\kappa~$ 上定義可能。ところが $\kappa~$ の $V~$ での正則性と $|u|<\kappa~$ であることにより、上記と同様の上限 (こんどは $L~$ での置換公理を使用) $\gamma=\sup_{x~\in~u}(\alpha_x)~<~\kappa~$ 従って $L_\gamma~$ が $y~$ の束縛に関して条件を満たします。
最後に $V=L~$ を仮定し (簡単のため) $L_{\omega_2}~$ での基数問題です。 $\alpha~<~\lambda~<~\omega_2~$ に対し $L~$ での全射 $f:\,~\alpha~\rightarrow~\lambda~$ を考えるのですが、 $f~\in~L_{\omega_3}~$ は勘違いしてなければ $V=L~|=~\mathrm{GCH}~$ の分析によりすぐに分かるのですが、 $f~\in~L_{\omega_2}~$ なのかどうか分かりません。上の分析を参考にすればなんとかなるかと思ったら、方向違いのようで。なんかすごく自明なことを見落としているのか？それとも案外難しいのか？ところで同様の議論で $\lambda~<~\omega_1~$ の場合、 $f~\in~L_{\omega_2}~$ が分かります。ということはへんてこな $\lambda~$ が存在すれば $\omega_1~<~\lambda~<\omega_2.~$ 以下わからず (弱)。← 大間違い下の方参照 (最弱)。
というか上の議論より例えば $L_{\aleph_\omega}~$ の基数、一般に極限基数 $\kappa~$ に対する $L_\kappa~$ の基数は $L~$ の基数と一致するかも。ということは正則性の観点はまたまた方向違い。
(さらに追記) 上のは完全にレヴェル違いで、 $f\in~L_{\omega_2}~$ は問題ありません。実際 $f~\subset~\lambda~\times~\alpha~$ なので、 $\beta<\kappa~$ が存在して $f~\subset~L_{\beta}.~$
$f~\in~L_\gamma~$ とすると $L_\beta~\cup~\{f\}~\subset~M~\prec~L_\gamma,\,~|M|=|L_\beta|~$ を満たす集合 $M~$ が存在します。そこで $M~$ の推移的崩壊を $L_\delta~$ とすると $|\delta|~=~|\beta|~<~\kappa~$ さらに $f~$ は $M~$ の推移的な集合の要素なので、 $f~\in~L_{\delta}.~$ レヴェルを一つ間違えてました。情けない。
(結論) $V=L~$ とし $\kappa~$ を基数とするとき $L~$ の $\kappa~$ 未満の基数と $L_\kappa~$ の基数は一致する。大混乱しているので後で書き換えるかも知れません。
(参考文献) Keith J.Devlin著 Constructibility
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ちっとも良くならない五十肩
悪化してます (笑)。うーん、Web の色々な文献によると半年か一年で自動的に直るはずなのですが、日記を見ると発症したのが去年の 11月の始め頃。なので、まだ四ヶ月です。ということは最短であと二ヶ月、最長で後八ヶ月ということで、いやはやまだ先が長いこと。というか今が最盛期なのかも。
最近困っているのは、動かさないでも痛くなる場合があることで、特にキーボードを打ってるときに「ずきっ」と痛むと左腕全体が脱力し、キーボードに左手が落っこちるのです。それから左腕全体がしびれたような感じになる場合があること。まあ、私はちょっとでも痛いと大騒ぎする方なので、ほんとはたいしたことないのでしょうが、なにかと不便なことは確かです。毎日PC と本が入ったかなり重たいかばんを持って歩くのも良くないのかも。左肩にしょって歩くこと多いですから。右にしようかな、と考えないでもないのですが、ほら、万が一右も痛くなったらまじ不便です。ほんと右だったら大の時不便過ぎますよ。「不便」かつ「不運」です (殴)。
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2007年3月3日(土)

L_α の基数
$V=L~$ を仮定します。漠然と何も考えず $L_\alpha~$ が $\mathrm{ZF}-\mathrm{P}~$ を満たすのは $\alpha~$ が正則基数の場合と思っていましたが大間違いでした。 $\kappa~$ を正則基数とすると $L_\kappa~$ はべき集合以外の集合論の公理を満たすのは正しいのです。簡単のために $\kappa~=~\omega_1~$ とすると、 $L_{\omega_1}~|=~\mathrm{ZF}~-~\mathrm{P}.~~$ すると、圧縮レンマにより可算な順序数 $\gamma~>~\omega~$ が存在して $L_\gamma~\prec~L_{\omega_1}.~$ 従って $L_\gamma~|=~\mathrm{ZF}~-~\mathrm{P}.~~$ ところで $L~$ で $\mathrm{cf}(\gamma)~=~\omega~$ なので $L~$ での順序数の増大列 $(\alpha_n)_{n~\in~\omega}~$ が存在して $L|=~\sup_{n\in\omega}~\alpha_n~=~\gamma.~$ この列は $\gamma~$ に依存しているのであたりまえといえばあたりまえなのですが、そのままでは $L_\gamma~$ で意味をもたせにくく、実際、上の列を $L_\gamma~$ 上定義する論理式 $\varphi(n,\alpha)~$ ( $L_\gamma~|=~\varphi(n,\alpha)~\leftrightarrow~\alpha~=~\alpha_n~$ なるもの ) が存在すると $L_\gamma~$ で置換公理がなりたたなくなり矛盾と思われます。なんというか $L_\gamma~$ 上の論理式の表現力の弱さが、逆に成り立つ公理を増やしている感じです。
上も結構悩んだのですが、いま困っているのは、例えば $L_{\omega_2}~$ の無限基数は本当に $\omega,~\omega_1~$ だけなのだろうかということです。自明なのか、それなり証明が必要なのか、成立しないのかわかないのです。

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2007年3月2日(金)

Quarts 2D Extreme
デュアルディスプレイにすると Expose や Dashboard がとってもぎくしゃくしてかっこわるい MacBook ですが、そういえば、と思い出して Quarts 2D Extreme を有効にしてみました。プロファイラによると機能としてはサポートしているようです。
```
root もしくは sudo で

# defaults write /Library/Preferences/com.apple.windowserver \
  Quartz2DExtremeEnabled -boolean YES

その後リブート
```
うーん微妙。やや動きがスムーズになった気もしないでは。分からない (笑)。
(追記) 少なくともウインドウの上の方をダブルクリックして、もにょもにょっと隠れるアニメーションは良くなってる感じ。マウスポインタの動きもスムーズになった気がします。これも気のせいかなあ。分からない (笑)。
(関連項目) 2005年6月6日 Quarts 2D Extreme を有効にしてみる
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2007年3月1日(木)

微妙なバグ
昨日のトラブルの話です。実はそれほど微妙ではなく、UNIX 一筋 15年なのに、こんな間違いをしたのは恥ずかしいのですが、なかなか面白いので。
(現象) ファイルの内容がある単位で重複して書かれる場合がある。
いやー、ソースのどこを見ても二回書いている感じではないし、メモリーを壊している感じでもないのです。本当に一回しか書いてないつもりなのに、ファイルの中身はあたかも同じ内容を二回書いたような状況。
悩んだ...。久々に悩みました。
で、私の作っているプログラムは組み込 Linux 用で、基本的に一秒間に一回メイン処理を行う無限ループです。メイン処理の遅延は極力避ける必要があるのですが、それなり時間が (といっても 0.2 秒くらいですが) かかる処理を別途行う必要もあるのです。こういう場合、メイン処理のループを遅延させないため、fork() を使用するのが好きです。fork() して子供側は exec() しないで、単に同じプログラムに書いてある関数を呼び出して終了するのです。こうすればメインの処理と並列に動作しますし、負荷の面でもVM の書き込み時コピーを考えれば問題ありません。
```
-----------------------------------------------------------------------------
/* 事前にゾンビ防止のコードは書いておく */
...
pid=fork();
if (pid==0) {    /* 子供 */
    func(...);   /* 関数呼び出し (I/O 待ちで0.2 秒くらいかかる可能性あり) */
    exit(0);     /* 終了 */
}
/* 親はそのまま継続 */
...
-----------------------------------------------------------------------------
```
はい、全然だめなコードですね。だめなことは知っていたのですが、はまったことがなかったので、油断してました。
実は問題のファイル書き込みはシステムコールではなく、標準入出力系のライブラリーを使用していたのです。fopen() 系ですね。ということはファイルポインタや標準入出力系のバッファは fork() で (論理的に) コピーされます。さらに exit() はファイル記述子を閉じる前にファイルポインタをクローズし、その時当然フラッシュ処理 (fflush()) が行われるわけです。この処理はユーザープロセス内で行われるので、親の方とは独立に行われます。その後親の方が同じ内容を fflush() します。即ちファイルの内容が重複するわけです。
正解は次の通りです。
```
-----------------------------------------------------------------------------
/* 事前にゾンビ防止のコードは書いておく */
...
fflush(NULL);    /* (A) 開いている標準入出力関連のバッファをフラッシュ */
pid=fork();
if (pid==0) {    /* 子供 */
    func(...);   /* 関数呼び出し (I/O 待ちで0.2 秒くらいかかる可能性あり) */
    _exit(0);    /* (B) 終了 (後処理を行わない)  */
}
/* 親はそのまま継続 */
...
-----------------------------------------------------------------------------
```
修正点は (A), (B) いずれかで良いと思いますが、念のため両方。本当は _exit(), exit() の使い分けは真面目に考える必要がありますが、今回の用途では_exit() で良いはず。
というわけで、少なくとも fork() する前に標準入出力を flush するのが礼儀であることは知っていましたが、はまったことがなかったので甘く見ていました。大恥をさらしましたが、いやはやほんと気がついて良かったです(^^。
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