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2009年7月29日(水)

• 強制法入門について

  Kunen [1] も日本語で読めるようになり今更 強制法についてのローカルな記述 も不必要かと思いますが、読み直してみると [1] ではまりやすいところにコメ ントが書いてあったり、拡張性が考慮されていないとはいえ「構文論」的な手 法で押し通したりと、存在したから害になるという程のものではないと思いま す。実はジェネリック拡大と構文論的な方法を並列させての記述に変更しよう かと考えています。構成が全然変わってしまうかもしれません。それから Δシステムレンマについてそれなり良い証明ができた と思われますので (これは渕野さん、藤田さんにお世話になりました) 、そち らも追加したいと思います。そしてその前提として閉非有界集合や定常集合に 関する初歩的なことがらについても追加して、強制法を学ぶ前提の知識も充足 できればと思っています。

  納期ですか。納期。いやな言葉ですねえ。未定です (笑)

  正直仕事も数学もてんぱっているのでいつ作業に入れるかは未定です。一年後 くらい後になるかも知れません。にしても「強制法入門」なんて名前にするん じゃあなくって「強制法勉強ノート」とでもしとけば良かった。

  [1] Kenneth Kunen, Set Theory, An Introduction to Independence Proofs, Studies in Logic and the Foundations of Mathem atics, North-Holland, 1980. (邦訳) ケネス キューネン著, 藤田 博司訳. 集合論—独立性証明への案内. 日本評論社, 2008.

  コメント

  _ふちの [今度は真面目なコメントです．強制法や generic extension は実は...]

  _通りすがり [機械から真面目な質問です。強制法の実行において、レーヴェンハイム・スコーレムの定...]

  _てなさく [・・・・・・・・・・・・（見つからないようにそーっと逃げる）]

  _かがみ [当面の目標は fine structure を勉強して被覆定理の証明を追いかける...]

• 証明が重要であることについて

  くるるさんはいつもお世話になり、さらに非常に尊敬している数学者です。も しかして私が twitter で強制法の初歩の初歩のそのまた初歩にかんすることで はまってるのをお知りになり、見るに見かねてという面もあるかも知れません。 くるるさんのブログ (「3時間でわかった気になる強制法　その0」) について余計なことは書かないほうが良いとは思うのですが、数学における証 明の重要性に関して何らかの意見を表明したほうが良いと思います。無礼をお 許しいただければ幸いです。

  実をいいますと今後くるるさんが「公理的」に強制法を導入し、どのような観 点から実用的に扱うことが可能になるかを説明して下さるのを非常に楽しみに しております。さらに「わかる必要なんて無いんですよ、強制法がどう正当化 されるかなんて。」というご主張も現場の数学者の本音としては分からないで はないです。とはいえ私自信は「絶対に一度はわかる必用がある」と考えてい ます。自分が納得していない事柄を何かに使うのはいやですし、基本的な概念 を納得していない状態で、それを使いこなすことは非常に難しいと思います。 そして数学において「納得する」というのはまさに「証明」を読み、その概念 や証明の構築過程を再体験することだと思うからです。残念ながら私自身は集 合論が難しくて、「証明」を理解することなどほとんどなく、追いかけるのが やっとという場合がほとんどですが、それでも一度証明を読んで少しでも「納 得」したか、その体験を行っていないかでは以降の理解なり納得に関して非常 に大きな差異が発生すると思います。

  正直「わかる必用なんて無いんですよ。」というご主張はは分かりすぎるほど 分かっているから言えるのであり、これから強制法を勉強しようと考えている 人に対しては余り説得力がないような気がします。「役に立つかなんてどうで もよいのでとにかく分かりたい。知りたい」という動機が学問を進展させてい る最大の原動力であると思うからです。

  強制法は色々な論理式が ZFC と整合的であることを示す場合に非常に重要な手 法であると思います。強制法の概念を表面的に知ったとしても全く不十分で、 実際には強制を行うための半順序集合として何を採用するか、そしてその集合 にかんする組み合わせ論的な洞察が重要でしかも難しいことも少しは経験して います。使うということが重要であることは良く分かっているつもりです。実 際しばらく使っていないのですっかり感覚がにぶっています。使い方に習熟す ることは非常に大切です。ですが整合性の証明のような論理的に「きわどい」 部分を扱う道具に対して、その道具の正当性について知る必用がないとは思え ません。その正当性に関して納得することは必須であると考えています。

  以上乱文で申しわけございません。またいつも大変お世話になっていて、さら に無学であるにもかわらず生意気なことを記載しこちらもおわびいたします。 今の時代こんなこと言う人は少ないのかも知れませんが、「数学 = 証明」とい うのが私の考えです。その観点から意見を述べさせていただきました。

  コメント

  _てなさく [てなさくの意見は自分のページに書きましたよんhttp...]

  _通りすがり [＞数学において「納得する」というのはまさに「証明」を読み、＞その概念や証明の構築...]

  _通りすがり [＞自分が納得していない事柄を何かに使うのはいやなら、どういう記述なら自分が納得す...]

  _かがみ [返信が遅れて申しわけございません。たしかに精算機のハードウエアーやソフトウエアー...]

  _てなさく [証明論がいうところの証明と、かがみさんが考えている証明は同じではありませんよ。証...]

  _かがみ [あ。少し疲れてるかも。なので今日はのんびり会社を休んでいます。ご心配おかけして申...]

  _通りすがり [＞強制法に関しては色々愛着があるなるほど。で、強制法ってズバリ、どんなものだと思...]

  _ふちの [期末試験の点つけの作業がいやでいやで逃避をしています．この一つ前の「通りすがり」...]

  _かがみ [「人工無能」って語句の意味内容はほとんど解釈せず、文章の構造からほとんどの情報を...]

  _ふちの [期末試験の点つけの作業がいやでいやで逃避をしています．この一つ前の「通りすがり」...]

  _ふちの [あ、ごめんなさい。画面を更新したら再送しちゃいました。]

  _かがみ [こちらこそ申しわけございません。この CGI はフリーかつ改変自由なのを自分で少...]

  _ふちの [2009-08-03 17:34:55 の発言で言いたかったのは，コメント欄で人...]

  _通りすがり [インテリジェンスに乏しい私ですが、ふちの氏の「構成的集合と公理的集合論入門」の強...]

  _てなさく [人工無能に数学の論文をヒトヤマ読ませたら、チューリングテストはともかく期末テスト...]

  _ふちの [〉てなさくさん．同業者には話が通じるなあ．採点は人口無能との戦いです．僕は昨日遅...]

  _通りすがり [私も、かがみ氏同様、合格はとてもじゃないが無理ですよ。]

• 多忙

  仕事の待ち行列が飽和状態です。なのでねたがありません。ごめんなさい。

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• クレパ木願望

  私の頭はアロンシャイン木もしくはススリン木なのではと思うこの頃です。と くにアロンシャイン木が存在しないことにより私の脳の基数はもし非可算なら ば 以上です。クレパ木になりたい。髪の毛が多過ぎてて困るくらいになりたい。 とはいえ前者二つは明らかにスタイルが良いのですが、クレパ木は太ってる可 能性があります。髪の毛をとるのかスタイルをとるのか。これは大変な難問で す。もしかして弱コンパクト基数になるのが一番良いのかも知れませんが、存 在の整合性が証明できないという難点があります。到達不可能性を要求しない 場合「アロンシャイン木」非存在はどのような条件なのだろう。[1] によると が正則基数 に対し の形の後続基数で の場合、特に GCH が成立する場合 -アロンシャイン木が存在するそうな。GCH を仮定する場合、髪の毛の観点から はアロンシャイン木が存在して欲しくないので、可能性としては特異基数の次 の基数となりますが (GCH とその基数でのアロンシャイン木の非存在は整合性 があるそうな) あまりかっこいい基数という感じがしません。なんか内容が混 乱してきました。それでは失礼致します。

  (追記) 私の頭はアロンシャイン木もしくはススリン木なので一部分誤りがあり ました。おわびして訂正というか削除いたします。私の脳細胞の個数が非可算で の可能性もあるということです。非可算個位あるのは明白なのでとても残念です。

  [1] Kenneth Kunen, Set Theory, An Introduction to Independence Proofs, Studies in Logic and the Foundations of Mathem atics, North-Holland, 1980. (邦訳) ケネス キューネン著, 藤田 博司訳. 集合論—独立性証明への案内. 日本評論社, 2008.

  コメント

  _かがみ [あ。κ-クレパ木の条件に κ-木という条件があるので別に太ってないや。ねたなので...]

  _ふちの [子供のころ読んだ童話に，「巨人が木の実を種ごと食べたら頭に巨木が生えてきた．この...]

  _てなさく [＞ふちのさんそれは古典落語の「あたま山」では？]

  _かがみ [ふちのさん、こんにちは。どうもお久しぶりです。私も「あたま山」で類似の話は知って...]

  _ふちの [> てなさくさん．今 wikipedia 日本語版で確認しました．なるほど...]

• 2009年7月13日のコメントについて

  これ以上書き込みをしないで下さいとお願いしましたが聞いていただけなかっ たようです。それぞれの立場でご意見はあると思いますが、私自身は当日のコ メントについて削除することは行いません。削除するべき内容と考えておりま せん。さらに「これ以上書き込まないで下さい」と記載した後に削除をと言わ れても困ります。

  この日記は実名で書いています。メールアドレスも「捨てアドレス」ではない 自分自身が一番大切にしているアドレスを明記しております。もし正式に削除 依頼を行われる場合、ご自分のお名前と捨てアドレスではないメールアドレス 等が分かる形で私宛に連絡をお願い致します。それが最低限の礼儀だと思いま す。もっとも今回のコメントに関して削除に応じることはまずありえないです。 法律的な処置をとられるというならば、その対応についてはその時点で考えます。

  当日の内容についてこれ以上言及しないで頂ければ感謝致します。

  コメント

  _通りすがり [＞法律的な処置をとられるというならば・・・合併が決まった場合、一方の会社のトップ...]

  _かがみ [誠に遺憾ですが上記発言について、私の将来の言論の可能性についての恫喝と認識してお...]

• 予定変更

  というわけで今日も明日も会社です。昨日の予定は来週にもちこしとなりまし た。ああ。

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• 仕事

  今日も仕事してます。さすがに明日と明後日はお休みの予定です。よてい。今 晩と明日の晩位でDevlin本3章のまとめとクレパ木と到達不可能基数関連の話題 をなんとかする予定です。よてい。

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• 今後の予定

  予定と書いて実践しないとまことにみっともないのですが、最近 関連、特に初等的部分構造のテクニックに関する話題が面白くて、最初木のと ころで挫折しそうになった [1] の3章がほぼ完了です。今週と来週中位にもう 一度 [1] の3章を整理して、さらに演習問題を考えて4章前半の -Tree の勉強をしたいと考えています。Square の前くらいまで。ざっと見た感じ の場合と類似の証明が多いので解読可能と思われます。たぶん。その後保留に なっていた -Kurepa 木の非存在の整合性と到達不可能基数の存在の整合性に関する話題を勉強する 予定です。さらに推測列の勢いで PCF 理論を勉強して、その後目標の fine structure に戻りたいと考えています。あくまで予定です。予定ですがとにか く楽しくなってきたことは事実です。

  [1] K.J.Devlin, Constructibility. Perspectives in Mathematical Logic, Springer-Ver-lag, Berlin-New York, 1984.

  コメント

  _Joe [私の今後の予定は、キリン製品の扱いをどうするかです。とりあえず、様子見で当分の間...]

  _てなさく [ブランド名も「キリンサン」とか「キリトリー」とかになるんですっけ？]

  _かがみ [全然知りませんでした。そういう状況にあるのですか。私はお酒を飲まないので「東北差...]

  _かがみ [Joe さんと私は東北出身なのでサントリーに対しては強い拒絶感があります。なので...]

  _てなさく [↑↑読みました。なるほどなあ。関西出身者としてはずかしいです。熊襲と蝦夷を混同す...]

  _通りすがり [ブランド名は残るんじゃないですかね。いまさら変えるの面倒くさいし。東北云々、ああ...]

  _かがみ [反応遅れて申しわけありません。といいつついまいち反応しにくい内容なので失礼します...]

  _Joe [通りすがりさん発言が佐治氏の個人的見解だとしても、氏は口では謝罪しつつも、その後...]

  _通りすがり [＞社の体質は、結局氏と同じだということです。明確に間違ってます。日本はかつてアジ...]

  _かがみ [一つお願いなのですが、日常のこと (ぐちでも良いです) や楽しいこと、面白いこと...]

  _Joe [今までの議論とは関係ない独り言ですが…。事象Aの否定¬Aの証明に、類似の...]

  _通りすがり [＞事象Aの否定¬Aの証明に、類似の事象Bの否定¬Bを反例としても、＞残念ながら証...]

  _通りすがり [具体的にはJoe 2009-07-13 21:52:04かがみ 2009-07-...]

• 徹夜した

  昨日てなさくさんに教えていただいた

  J. Yeh 著, Real Analysis: Theory of Measure And Integration (Paperback).

  が米国より届きました。ペーパーバックと甘く考えてたらとっても厚いです。 700ページもあります。正直1章を読むだけでも大変そうとつぶやいたら、はや しさんより全部読むようにとのご指示がありました。全部ですか。ええ。関数 解析の基礎もとか宣言したこともあったので努力します。

  徹夜で測度論の予定だったのですが、実際に勉強したのは集合論でした。 わりと調子よかったです。 を復習して と のところまで勉強できました。あとは のところを読めば Devlin本 [1] の3章は完了です。ダイアモンドざっくざっく モードですがもちろんお金はありません。

  [1] K.J.Devlin, Constructibility. Perspectives in Mathematical Logic, Springer-Ver-lag, Berlin-New York, 1984.

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• 仕事

  今日も会社です。ねたがなくてつまんなくてすみません。

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• 給湯器

  給湯器が壊れたそうな。全交換が必要で見積もりが43万円です。ああ。ボーナ スに羽が生えてるのかなあ。それはそうと難航していた Devlin本 [1] の第三 章もダイアモンドの亜種を残すのみとなりました。理解したとはほど遠い現状 ですが、デルタシステムレンマの例でも分かるように後になるとすんなり分か る場合もあるので、どんどん先に進むことにします。四章に入る前にちょっと 寄り道して、 ω₁-クレパ木の非存在の整合性と到達不可能基数の 存在の整合性の関連 (実は同値らしい) について Kunen本 [2] で勉強する予定 です。最近 forcing 全然使ってないので忘れないようにという意味もあります。

  書いてあること一昨日と同じじゃあないですか。最近仕事とDevlin本を読むこ と以外のことしてないのでご容赦のほどを。

  [1] K.J.Devlin, Constructibility. Perspectives in Mathematical Logic, Springer-Ver-lag, Berlin-New York, 1984.

  [2] Kenneth Kunen, Set Theory, An Introduction to Independence Proofs, Studies in Logic and the Foundations of Mathem atics, North-Holland, 1980. (邦訳) ケネス キューネン著, 藤田 博司訳. 集合論—独立性証明への案内. 日本評論社, 2008.

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• クレパ木とか

  V=L のときススリン木が存在するダイアモンド使わないヴァージョンが余りに も分からなかったので保留中です。木は難しいです。そして V=L のときクレパ 木が存在することの証明に挑戦しました。実はクレパ木の存在に関しては木の 概念はあんまり関係なく、純粋に組み合わせ論的な概念に還元可能なのでこち らは証明を追いかけることができました。前に教えていただいた初等的部分構 造の増大列を構成するのです。証明のステップは比較的簡単に追えるのですが、 じゃあなんなの？ と言われるとよく分からない。分からない...。いずれにし てももうちょっとがんばれば Devlin本の第三章を読み終えることができます。

  ススリン木に関してはダイアモンドを利用したヴァージョンを読んでからもう 一度直接証明に挑戦。クレパ木についても ダイアモンド^{+} との関連でもう 一度証明を見直します。ダイアモンド^{+} に関しては一度挫折しているのです が、一見してクレパ木の構成と証明が類似しているので、今度は大丈夫なはず です。たぶん。

  あとちょっと寄り道してクレパ木の非存在の整合性と到達不可能基数の存在の 整合性に関する話題を勉強したいと考えています。

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• 記号の名前を教えてもらう

  実は fine structure がらみで良く出てくる のようでもうちょっと丸まってて、わらびというかぜんまいみたいな記号があ るのです。読めなくて困っていました。多分 とは思っていたのですが確信がありませんでした。そこで Twitter で教えて下さいと お願いしたところ、tri_iro さんに ($\varrho$) であると教えて頂きました。ありがとうございます。これで心置 きなく fine structure の勉強を始めることができます。最大の問題点が解決 しました。現実問題としてSouslin木にかんすることがらがまだ直感的につかめ ていないので勉強始めるまでそれなり時間がかかると思います。7, 8月は少な くとも土曜日は出社する必要がありそうなのも難点です。

  コメント

  _てなさく [仮に $0^\\sharp$ が文献に「特筆すべき整礎非有界エーレンフォイヒト・...]

  _かがみ [たしかに名前は大切だと思います。実際 ineffable cardinal に対...]

  _かがみ [もしかして Windows では文字化けしてるかも。もし文字化けしてたらその部分...]

  _てなさく [Windows では ◇^{+} が顔文字に見えます]

  _かがみ [会社で Windows を使っている人に見せてもらったら豆腐になってました .....]

• 罪の告白

  ねたがないので罪の告白とか。

  最初に L を勉強したとき二日間くらい L_α = L∩V_α と思っていました。さすがに |L_α| = |α| を知ったときおかしい と気がつきました。数学で勘違いしたことは数知れずありますが、これが最も すぐれた勘違いだと思われます。圧縮レンマをいいかげんに考えていたことと か L に対する認識の誤り多いなあ。恐らく強制法の基本より L の基本の方が 難しいのだと思います。

  コメント

  _てなさく [一時期、「ＺＦ＋Ｖ＝Ｌの可算ωモデルの同型類は順序数クラスの順序型で決まる」と勘...]

  _かがみ [すみません。「ヴォート予想」を検索しても内容が分かりません。ヴォートのつづりを教...]

  _てなさく [ええっと、ヴォートというのは Robert Vaught で、ヴォート予想は、「...]

  _かがみ [すみません。言われていることは分かるのですが、感覚的につかめません。ポーランド関...]

• 買い本

  昨日注文した本です。まずてなさくさんご推薦の本。

  J. Yeh 著, Real Analysis: Theory of Measure And Integration (Paperback).

  実は間違って これ を注文してしまいあわててキャンセルしたのは内緒です。

  次は wd0 さん ご推薦の本。

  Lynn Arthur Steen , J. Arthur Seebach Jr 著, Counterexamples in Topology (ペーパーバック).

  安いです。もっともこの値段でも wd0 さんが言われているように「一家に一冊」 売り上げが上がれば多大な利益が得られると思われます。

  コメント

  _てなさく [わたくしも Devlin のモノグラフ２冊を含む洋書５冊をようやく身請けできまし...]

  _かがみ [あ。身請けできましたか。良かったです。Jeh 本は PDF の一章を眺めています...]

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