02/25 aiueo 01/01 かがみ 01/01 ゼルプスト殿下 01/01 かがみ 01/01 ゼルプスト殿下 05/10 かがみ
今日はZF上で任意の線型空間に基底が存在する仮定から選択公理が導かれることの証明を紹介する予定だっ たのですが大いなる勘違いが存在しました。基底の存在と「線型空間の任意の生成系に対してその部分集合 で基底となるものが存在する」ことを混同していました。一般の場合はやや面倒なので今日は下記の非常に 簡単と思われる結果を紹介します。
(結果) ZF 上「線型空間の任意の生成系に対してその部分集合で基底となるものが存在する」ことから選択 公理が導かれる。
まず本日使用する選択公理は次の形式とします。
(選択公理) $Z$ を集合族としてその任意の要素が $\emptyset$ でないと仮定する. さらに任意の $X, Y \in Z$ に対し て $X \neq Y$ のとき $X \cap Y = \emptyset$ であると仮定する. このとき次の条件を満たす集合 $C \subset \bigcup Z$ が存在する. \begin{gather} \forall {X \in Z} (C \cap X \subset X \,\,\, \mathrm{and} \,\,\, |C \cap X|=1) \end{gather} つまり $C$ は $Y$ の要素 (これらは空でない集合) から一つずつ要素を「選択」したものとなっているわ けです。
(「結果」の証明)
$Z$ を (選択公理) で述べた条件を満たす集合族とします. $A = \bigcup Z$ として $A$ の要素を $\mathbb{Q}$上の超越基底とする体 $K$ を考えます. そして $x \in A$ に対応する $K$ の $\mathbb{Q}$ 上の超越 基底を同じ $x$ で表現することとします. $K=\mathbb{Q}(x)_{x \in A}$ という感じです. 今 $K$ 上の線 型空間 $L=K^{[Z]}$ を考えます. $L$ は $K$ の$Z$ の要素を標準基底とする直和です. もう少しきちんと 定義を書くと以下のようになります.
\begin{gather} L = \{f : f \ は Z \ から \ K \ への関数で有限個の \ X \in Z \ を除い て\ 0 \ となる \} \end{gather} 先ほど $Z$ の要素を標準基底とすると書いたのは次の意味です. $X \in Z$ に対して $\pi_X$ を次のように定めます. \begin{gather} \pi_X (X) = 1 \\ \pi_X (Y) = 0 \quad (Y \neq X) \end{gather} すると $(\pi_X)_{X \in Z}$ が $K$ 上 $L$ の基底となります. 各 $x \in A$ に対して関数 $j_x : Z \to K$ を次のように定めます. \begin{gather} j_x (X) = x \quad (x \in X \ の場合) \\ j_x (X) = 0 \quad (x \notin X \ の場合) \end{gather} $j_x$ は $x \in X$ となる $X$ (これは $Y$ 内にただ一つ存在) 以外で 0 となるので $j_x \in L$ です. そして $\{j_x : x \in A \}$ は $K$ 上 $L$ の生成系となります. 実際任意の $X \in Z$ に対して $x \in X$ が存在し $j_x/x = \pi_X$ が成り立ちます (この議論は選択公理と無関係です)仮定により $\{j_x : x \in A\}$ の部分集合 $B$ で $K$ 上 $L$ の基底となるものが存在します. そして $B = \{j_x : x \in C\}$ とすると $C$ が求める選択集合となります. 実際 $x, y \in C$ で $X \in Z$ が 存在して $x, y \in X$ と仮定すると $j_x, j_y$ の定義によりこれらは線型従属となります. したがって $X \in Z$ に対して $C \cap X$ は高々一つの要素からなります. さらに $X \in Z$ が存在して $C \cap X = \emptyset$ と仮定すると $B$ の要素の「$X$座標」はすべて0となります. したがって $B$ は $K$ 上 $L$ の生成系に成り得ません □
(参考文献) Jamses D. Halpern, Basis in vector spaces and the Axiom of Choice. Proceedings of The American Mathematical Society - PROC AMER MATH SOC , vol. 17, no. 3, pp. 670-670, 1966.
コメント_てなさく [面白いっ!! しかも明快!! 単なる「基底の存在」から選択公理を導くのは、Ure...]
_かがみ [コメントありがとうございます。この証明は引用した論文で「こうした方が簡単」と一言...]
最近本当に病気日記になってしまいつまんなくてすみません。先日市民病院か ら「あなたのような軽微な症状の人はもう来ないで」と追い出され、今日から 一般の病院に通院です。市民病院で紹介状を書いてもらったのですが、これか ら通う病院は 心筋梗塞の症状が出て最初に行った ところです。今日は血液検査はなしでレントゲンと心電図のみです。ともに特 に異常はなく、とくに心電図に関しては「心筋梗塞の後遺症っぽい波形がなく これは珍しい」ということでした。昨年発作時のの心電図と重ね合わせた波形 も見せてもらいましたが、いやはや全く別の波形です。これから月に一度くら い通うことになります。定期的な健診をした方が良いのと、アスピリン (抗血 小板剤として) ならびにHMG-CoA還元酵素阻害薬 (スタチン) を飲み続ける必要 があるからです。
次回は血液検査もあるそうです。市民病院と違い朝食抜きで検査を行うそうな。 最近の傾向からして、空腹時血糖値は 90 未満になると思いますが、 HbA1c (4月1日に 5.7) はどうなることやら。コレステロールについては現在 L/H 比 が 1.0 未満 (LDL 66, HDL 77) なので問題ないと思われます。
紹介状に添付されていた「一年間通じての血液検査の値」のコピーをもらって きました。最初に入院したときの値が素晴らしすぎです。よく生きていたと不 思議になる値です。そりゃあ HbA1c が 9.0 で L/H 比が 3.0 なら冠状動脈詰 まりますよ。その後一年間でほぼすべての値が正常となりました。最近は種々 の数値について正常範囲で、さらに変動が少ないことは良い傾向だと思います。
2010年4月 2011年4月 備考 空腹時血糖値 216 86 110未満が正常 HbA1c 9.0 5.7 5.7以下が正常 LDL 122 66 いわゆる悪玉コレステロール HDL 34 77 いわゆる善玉コレステロール L/H比 3.0 0.9 2.0未満が良い
コメント
2011年4月
2011年6月
更新履歴と日記の先頭に戻る
日記の目次
集合論雑記目次
はてなリング 数学の輪
トップページに戻る
谷山浩子さんのページ