2005年8月

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2005年8月30日(火)

つくば出張
今日から明日まで一泊二日でつくば出張です。

2005年8月29日(月)

お誕生日
本日は谷山浩子さんのお誕生日ということでまことにおめでとうございます。

2005年8月28日(日)

ひとやすみ・これからの集合論雑記
[集合論雑記目次]
正直言ってずいぶん長く続いていると思います(笑)。だって書き始めた頃は順序数も知らなくって、そのあたりをある程度きちんと理解出来たら終わりにする予定だったので。もしかして私って案外しぶとい性格なのか(笑)。←飽きっぽい割に、パターン化した同じようなことを繰り返すのが苦にならないのは確か(^^。
それはそうと今後どうしようか。強制法に関してはやはりどうしても知っておきたい知識であったので、比較的真面目に勉強したつもりですが(いや！日記にはたくさん間違ったこと書いたと思いますし、最初は全然意味が分からなくてかなりへこんだ...)、これからは実数の初等的な性質とか、無限集合の分割の性質、それからゲーデルの L 等、基本的な体力部分を補わないと無理に先に進んでも内容の把握が出来なくなることは間違いありません。
というわけで一月か二月間くらいは基本的な部分の勉強に専念することになりそうです。勉強した内容は日記に書く予定ですが、余り細かい証明は書かないかも知れません。それから強制法に関しては勉強しながら書いたので、論理的な順序がかなりまずいのと、最初良くわかってなかった時点(今でもというつっこみもあるかな)での間違いもかなりありそうなので、一度「本物」の LaTeX できちんと書き直したいという願望もあるのです。まあ一応Generic-標準名称のみを使った forcing の議論でがんばったということもありますので。
ちと気になっているのは、ここ数ヶ月の日記を読み直してみると、どうも面白いねたに出会ってないし、考えつくことも出来ない傾向が強まっています。なにか良い処方箋はないものですかねえ(笑)。このままだと集合論雑記以外の記事がなくなってしまいますよ。ただでさえつまんない日記がそんなことになっては本当に困ってしまいます(^^。

2005年8月27日(土)

トリプルディスプレイ
普段会社では PowerBook の外部ディスプレイ出力を利用してデュアルディスプレイ環境を使用しているのです。この環境で FreeBSD や Linux マシンに対してはssh でログインすれば作業可能なので特に不便はありません。そもそも会社での仕事用 Linux マシンにはコンソールが繋がっていなかったりします(^^。
ところでこういう環境で不便なのがやはり Windows なのであって、当然のごとくそちらを操作す場合、別のキーボードとマウスを使う必要があるのです。ところが慣れというは恐ろしいもので、PowerBook 作業状態から Windows の作業に移行する場合、右図の様な配置になっていると思わずマウスを画面の上の方に持ってってしまう場合が多いのです(^^。
うーんどっかの会社が複数 OS 対応の「トリプル以上ディスプレイ」自動移動対応無線キーボード・マウスなんてのを作ってくれませんかねえ。ドライバーを書けば汎用品でも動作しそうだし、少なくとも私は買うと思うのですが(笑)。なんてことを会社で話していたのですが、そもそも「かたぎのひと」はディスプレイを3台以上、さらに複数 OS 並べて作業するなどということはあんまり無い訳で、そんなに売れないから誰も作らないであろう、という意見が主流を占めたのです。確かに言われてみるとそんな気もしないではないのですが、あればとっても便利だと思うのです。ひょっとしたら売れるかも...。誰か作って大もうけしませんか〜(^^。

2005年8月26日(金)

連続体仮説の ZFC からの独立性・二回目
[集合論雑記目次]

[2006年6月8日] 集合論雑記の強制法に関する部分はPDFファイルにまとめました。こちらの方が誤りが少なく、論理的にも整理されていると思います。詳しくは 2006年6月8日の記事を参照して下さい。
http://evariste.jp/kagami/diary/0000/forcing-1.0.pdf
http://evariste.jp/kagami/diary/0000/forcing-1.0.tex

昨日からの証明の続きです。半順序集合 $\mathbb{P}\in{M}$ がある種の条件を満たす時、 $M$ の基数が強制関係において保存されることを示すのです。最初に次の記号を導入します。
$\cal{F}(X,Y,\kappa)=\{f\,|\,f$ は $X$ の部分集合から $Y$ への関数で $|\text{dom}(X)|<\kappa\}$
特に $\cal{F}(X,Y,\omega)$ を単に $\cal{F}(X,Y)$ と記述します。順序はいつもの通り $p\le{q}\leftrightarrow{q}\subset{p}$ で定義することとします。

[定義] 一般に順序集合 $\mathbb{P}$ が c.c.c(countable chain condition)を満たすとは、 $\mathbb{P}$ の任意の antichain からなる部分集合が可算であること。

[定理 1] $Y$ が可算のとき、任意の $X$ に対して $\mathbb{P}=\cal{F}(X,Y)$ は c.c.c を満たす。

$(p_\alpha)$ を $\mathbb{P}$ の非可算な antichain 仮定します。するとデルタレンマにより非可算な $(p_\alpha)$ と有限集合 $r$ が存在して、
$\forall{\alpha,\beta}(\alpha\neq\beta\rightarrow~\text{dom}(p_\alpha)\cap\text{dom}(p_\beta)=r)$
を満たします。従って $Y$ が可算なことから、非可算個の $p_\alpha$ は $r$ 上で一致するのでこれらの $p_\alpha$ はすべて compatible となり矛盾です。

[定理 2] $\mathbb{P}=\cal{F}(X,Y)$ -Generic による拡大でおいて基数は保存される。

この定理が証明出来れば昨日の結果と合わせて、「連続対仮説の否定はZFCと矛盾しない」ことの証明は完了します。

[補題 2.1] $G$ を $\mathbb{P}$ -Genericとするとき $M[G]$ の基数は $M$ の基数。

$\beta$ が $M$ の基数でないと仮定すると $\alpha<\beta$ と上への関数 $f:\,\alpha\rightarrow\beta$ が存在します。このとき任意の $p\in\mathbb{P}$ に対して $p||-'\check{f}\text{~is~a~function~from~}\check{\alpha}\text{~onto~}~\check{\beta}'$ が成立します。

[補題 2.2] $M$ での正則基数は $M[G]$ での正則基数。

$\kappa$ を $M$ での正則基数とし $M[G]$ での非正則な順序数と仮定すると、 $p\in{P}$ と順序数 $\gamma<\kappa$ さらに名称 $\dot{f}$ が存在して
$p||-'\dot{f}\text{~is~an~unbounded~function~from~}\check{\gamma}~\text{~to~}\check{\kappa}'.$
ここで各 $\alpha<\gamma$ に対し
$A_\alpha~=~\{\beta\in\kappa\,|\,\exists{q<p}~(q||-\check{\beta}=\dot{f}(\check{\alpha}))\}$
とすると $A_\alpha\in{M}$ が成立し $q<p$ を固定して $q||-\dot{y}=\dot{f}(\check{\alpha})$ が成立していると仮定すると $q||-\dot{f}(\check{\alpha})\in\check{\kappa}$ なので dense below $q$ なる $r$ に対して $\beta<\kappa$ が存在して $r||-\dot{y}=\check{\beta}.\,$ 従って $r||-\dot{f}(\check{\alpha})\in\check{A}_\alpha$ が成立し $q<p$ は任意だったので $p||-\dot{f}(\check{\alpha})\in\check{A}_\alpha.\,$ ここで $B=\bigcup_{\alpha<\gamma}{A_\alpha}$ とすると $B\in{M}$ で $p||-'\check{B}\text{~is~an~unbounded~subset~of~}\check{\kappa}'$ が成立します。従って $M$ において $B$ は $\kappa$ の非有界集合であることが分かります。
残るは $|B|<\kappa$ の証明ですが、各 $\alpha<\gamma$ に対して $A_\alpha$ の要素に対応する $q<p$ を「選択」するとこれらは incompatible なので $|A_\alpha|\le\aleph_0.\,$ 従って $|B|=|\gamma|<\kappa.$

[補題 2.3]補題2.2の条件が成立しているとき cofinal も保存される。

$\alpha$ が極限順序数で、真増加 cofinal 関数 $\alpha\rightarrow\beta$ が存在する場合 $\text{cf}(\alpha)=\text{cf}(\beta)$ であることに注意すれば良い。

[補題 2.4]補題2.3の条件が成立しているとき基数は保存される。

正則基数の場合と極限基数(正則基数の極限になる)の場合おのおの成立するので。

本日は Kunen の本を多いに参考にしました。特に補題[2.3][2.4]はそのまんまです。いちばんどうでもよさそうな部分なのですが補題[2.1][2.2]より難しかったです(汗)。やはり基礎体力不足ですな。それにしてもうまく出来てるもので、補題[2.2]は強制法を最初に勉強する時のとても良い、すなわち簡単だけれど本質的な部分を凝縮し、さらに元のモデルから強制法に拡大モデルが「ぼんやり」見えるという雰囲気が良くわかる証明の例になっていると思います。
いずれにしても「集合論雑記」を書き始めてからの一つの目標まで到達した感じなので、今後は強制法の勉強をさらに継続するとともに、実数の性質とか、分割の性質とかの方の基礎体力も充実させる必要があります。いやはやほんとに一生もんの趣味になってしまったようで(^^。
ちなみにお題目は「連続体仮説の ZFC からの独立性」となっていますが、この雑記で記述したのは「連続対仮説の否定が ZFC と矛盾しない」ことのみであり、独立性に関しては「ゲーデルの $L$ 」ついても言及する必要があることはもちろんです。

2005年8月25日(木)

台風来たる
今23時頃ですが、かなり雨風が強くなってきました。おうちの中にいると良くわからないのですが、ちと窓を開けると近づいてるな〜、ということを実感します。夜中に通過してしまえば良いのですが、かなりゆっくりとした台風らしいので、明日の朝の通勤時になってもまだ通過中かも知れません。でも、そうなったらやだな。明日は会社経由でつくばにいかにゃならんのですよ。しかも一緒に行くはずだった人が、名古屋方面からの新幹線が止まってしまい、足止め状態だという。ほんとに行き着けるのだろうか(^^。
連続体仮説の ZFC からの独立性・一回目
[集合論雑記目次]

[2006年6月8日] 集合論雑記の強制法に関する部分はPDFファイルにまとめました。こちらの方が誤りが少なく、論理的にも整理されていると思います。詳しくは 2006年6月8日の記事を参照して下さい。
http://evariste.jp/kagami/diary/0000/forcing-1.0.pdf
http://evariste.jp/kagami/diary/0000/forcing-1.0.tex

やっと「連続体の否定は ZFC と矛盾しない」ことの証明を記述出来そうです。今日は前半戦の簡単な部分。
いつもの通り $M$ を集合論の推移的なモデルとします。まず $\lambda$ を非可算基数とし
$\mathbb{P}=\{p\,|\,p\text{~is~a~function~from~a~finite~subset~of~}~\lambda\times\omega\text{~to~2}\}$
とし $\mathbb{P}$ の順序は $p\le{q}\,\leftrightarrow\,q\subset{p}$ にて定義します。 $\dot{G}$ を $\mathbb{P}$ -Generic の標準名称とし $\dot{f}$ を $\mathbb{1}||-\dot{f}=\bigcup{\dot{G}}$ を満たす名称とします。このとき次の事実を示すことは容易です。
$\text{(a)}\,\,~\mathbb{1}||-\dot{f}~\text{~is~a~function~from~a~subset~of~}~\lambda\times\omega\text{~to~2}.$
$\text{(b)}\,\,~\dot{f}_\alpha$ を $p||-\forall\alpha\in\lambda\forall{n}\in\omega~(\dot{f}_\alpha(n)=\dot{f}(\alpha,\,n))$ を満たす関数 $\text{subset~of~}\omega\rightarrow{2}$ を表す名称とするとき $p||-\forall\alpha\in\lambda(\text{dom}(\dot{f}_\alpha)=\omega)$
$\text{(c)}\,\,\text{(b)}$ と同じ仮定において $p||-\forall\alpha,\beta\in\lambda(\alpha\neq\beta~\rightarrow~\dot{f}_\alpha\neq\dot{f}_\beta)$
(a)は $\dot{G}$ が強制関係においてフィルターであることに帰結です。
(b)は
$D_{\alpha,n}~=~\{p\in\mathbb{P}\,|\,(\alpha,n)\in\text{dom}(p)\}$
とすると $D_{\alpha,n}\in{M}$ かつ $D_{\alpha,n}$ は $\mathbb{P}$ で dense. 従って $p||-\dot{G}\cap{D_{\alpha,n}}\neq\emptyset$ が成立し $p||-\text{dom}(\dot{f}_\alpha)~=~\omega.$
(c)は(b)と同様に $\alpha,\beta\in\lambda,\,\alpha\neq\beta$ に対し
$E_{\alpha,\beta}=\{p\in\mathbb{P}\,|\,\exist{n\in\omega}~(p(\alpha,n)\neq{}p(\beta,n))\}$
を考えれば良いのです。結局任意の $p\in\mathbb{P}$ による強制関係において、すべての $\alpha\in\lambda$ に対して $\dot{f}_\alpha\in{2^\omega}$ が成立し、さらにこれらはすべて異なるので
$\mathbb{1}\,||-\,|\lambda|\le|2^\omega|$
言い換えると $M[G]$ で $|\lambda|\le|2^\omega|.$ $\lambda\in{M}$ は任意の非可算基数だったので、これで証明完了...と思いたいところですが、「基数」はモデルの拡大において絶対的ではないので、例えば $M[G]$ において $|\lambda|$ が $\aleph_0,\,\aleph_1$ である可能性も(現段階では)ありえるのです。そもそも基数にならない場合もあり得ますし。実際 $\mathbb{Q}=\{q\,|\,q\text{~is~a~function~from~a~finite~subset~of~}\omega~\text{~to~}\lambda\}$ による強制を考えると $1_{\mathbb{Q}}\,||-\,|\lambda|=\aleph_0$ であることが分かります。次回は少なくとも $\mathbb{P}$ における強制に関してはこのようは事態が発生せず「基数が保存される」ことを示し、「連続体仮説の否定は ZFC と矛盾しない」ことの証明を完了する予定です。

2005年8月24日(水)

AH-K3002V
京セラから AH-K3002V が発表になったようです。うたい文句としては、
- セキュリティーに配慮してカメラは搭載しない。
- 電話を紛失した場合のリモートロック機能。
なのだそうな。いやはやそれにしてもつまんない製品を企画したものですなあ。まあ AH-K3001V に搭載されているカメラが役に立つ訳ではないのですが、遊び心としてあんなのが付いているのは悪くないと思うし、そもそも今時写真を撮る手段などいくらでもあるのに、あえて PHS に搭載しないことを「売り」にするという考え方には強い違和感を感じます。
企業向けというポリシーを強く出しているようで、音声定額やデーター通信定額を売りにして、さらに全く役に立ちそうにない「セキュリティ−」なるお題目で幻惑して、いろんな会社にまるごと採用させる商売を狙っているのかな。
というわけで、それなりに面白い商品だった場合、買い替えもありうるかな〜、と考えていたのですが、まったく期待はずれだったのです。次回は個人向けの楽しいポリシーの製品を企画してもらいたいものです。

2005年8月22日(月)

腰イタ
うーん、車が最大の原因かも。私も昔田舎で日常車に乗ってたときは良く痛くなったのですが、東京に出て来て否応無しに電車通勤になってから一度も痛くなっていません。仕事とかで使う必要がない日には、ちと余計なお金がかかるのと面倒なのが難点ですが、たまに電車で通勤するのが良いかも知れません。
＃素人考えなので全くあてにはなりません。お大事に。

2005年8月21日(日)

Generic 拡大(Generic extension)・二回目

[2006年6月8日] 集合論雑記の強制法に関する部分はPDFファイルにまとめました。こちらの方が誤りが少なく、論理的にも整理されていると思います。詳しくは 2006年6月8日の記事を参照して下さい。
http://evariste.jp/kagami/diary/0000/forcing-1.0.pdf
http://evariste.jp/kagami/diary/0000/forcing-1.0.tex

[集合論雑記目次]
本日も $M$ を $\text{ZFC}$ の推移的なモデルとして、 $G$ を半順序集集合 $\mathbb{P}\in{M}$ による Generic とします。このとき次の事実が成立します。
$(a)\,\,~G\in{M[G]}$
$(b)\,\,M\subset{N}$ が推移的な $\text{ZFC}$ のモデルで $G\in{N}$ ならば $M[G]\subset{N}$
$(c)\,\,\text{Ord}(M[G])=\text{Ord}(M)$
(a)(b)は Generic の標準名称 $\dot{G}$ が任意の Generic の名称になっていることから導かれます。(c) に関してはまず「 $\alpha$ は順序数である」という論理式が $\Delta_0$ であることにより
$\text{Ord}(M)\subset\text{Ord}(M[G])$
が導かれます。逆の包含関係は次の様に証明されます。 $\dot{x}$ を名称とし $p\in{G}$ に対して $p||-'\dot{x}\text{~is~an~ordinal}'$ が成立していると仮定します。ここで
$A=\{\alpha\in\text{Ord}(M)\,|\,\exists{q\le{p}}(q||-\alpha\in\dot{x})\}$
とおくと $A$ は $A\in{M}$ を満たす順序数からなる集合となります。ところが rank に関する帰納法により任意の $q\le{p}$ に対して
$q||-(\dot{y}\in\dot{x})\,\rightarrow\,~q||-\exist{\alpha\in\text{Ord}(M)}(\dot{y}={\alpha})$
従って $q||-(\dot{y}\in\dot{x})\,\rightarrow\,~q||-\dot{y}\in\check{A}$ が成立するので $p||-\dot{x}\subset\check{A}.$ $A$ は $M$ の順序数からなる集合なので $A\subset\beta\in\text{Ord}(M)$ なる順序数が存在し $p||-\dot{x}\in\beta\vee\dot{x}=\beta.$
第一の条件、第二の条件いずれからも $p||-\exist{\alpha\in\text{Ord}(M)}(\dot{x}=\alpha)$ が導かれます。
上の簡単な証明でも分かる様に Generic $G$ の存在は余り本質的ではなく、 $M[G]$ に関する論証はすべて強制関係に翻訳することが可能です。本日は Generic 自体の性質を直接使用することはなかったのですが、Generic の標準名称 $\dot{G}$ は強制関係で Generic の性質を持つのでこちらも問題になりません。従って Generic が存在しない場合においても、仮想的な Generic 拡大 $M[G]$ を「考えて」、時にきわどい論証を行う場合以外は、実際に拡大が存在する場合と同様の手順での論証が可能なのです。もちろんこのような「仮想的な」論証に疑問が生じた時はいつでも強制関係への置き換えを考えれば良いのです。
特に集合論のユニヴァース $V$ の(仮想的な) Generic 拡大 $V[G]$ を「考え」強制関係の言い換えとして考察することさえ可能なのです。ただしこの場合は、特定の Generic を指定しても意味が無いので、 Generic の標準名称 $\dot{G}$ を Generic の「親玉(笑)」の様に考えて、
$V[G]|=\varphi\,\Leftrightarrow\,\mathbb{1}||-\varphi$
が成立するということになります。
次回は「連続体仮説の否定」が $\text{ZFC}$ と矛盾しない事実の証明を記述します。簡単な Generic 拡大で $\omega_1~<~2^{\aleph_0}$ が成立することは一見すぐにに証明出来そうな気がするのですが、基数の「絶対性」の証明の方が案外めんどうなのです。

2005年8月20日(土)

Generic 拡大(Generic extension)・一回目
[集合論雑記目次]

[2006年6月8日] 集合論雑記の強制法に関する部分はPDFファイルにまとめました。こちらの方が誤りが少なく、論理的にも整理されていると思います。詳しくは 2006年6月8日の記事を参照して下さい。
http://evariste.jp/kagami/diary/0000/forcing-1.0.pdf
http://evariste.jp/kagami/diary/0000/forcing-1.0.tex

原理的には強制関係の考察のみで ZFC での種々の独立性の証明が可能なのですが、実際には強制関係が「成立する」ことと同様の関係が成立する「モデル」に対しての考察が行えないと不便です。さらに強制を複数回(場合によっては超限回)適用する場合、強制関係のみ概念では記述自体が困難になってきます。
そこで今回はまずもとのモデルが可算であり、Generic が実際に存在する場合について Generic 拡大の定義と基本性質を記述することにします。

[Generic 拡大の定義]

$\mathbb{P}$ を元のモデル $M$ に属する半順序集合として、 $M$ に属するかどうかは不明ですが、その Generic を $G$ とします。このとき $M$ の $G$ による Generic 拡大 $M[G]$ を次の様に定義します。
$\dot{x}\in{M}^{\mathbb{P}}$ を名称とするとき $\dot{x}$ の $G$ による解釈 ${\dot{x}}^{G}$ は
${\dot{x}}^{G}~=~\{\dot{y}^G\|~\exists{p\in{G}}((\dot{y},p)\in\dot{x})\}$
そして
$M[G]=\{\dot{x}^G\|~\dot{x}\in{M^{\mathbb{P}}}\}$

[基本定理]

次の定理が成立します。 $\varphi(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ をすべての自由変数を明記した論理式とするとき
$M[G]\,|=\varphi(\dot{x}_1^G,\dot{x}_2^G,\cdots,\dot{x}_n^G)~\,\Leftrightarrow\,~\exists{p\in{G}}(p||-\varphi(\dot{x}_1,\dot{x}_1,\cdots,\dot{x}_n))$
さらに $x\in{M}$ に関しては $\check{x}^G~=~x$ が成立します。すなわち $\text{rank}$ に関する帰納法により
$\check{x}^G~=~\{\check{y}^G\,|\,\exists{p\in{G}}((\check{y},p)\in\check{x})\}~=\{y\,|\,y\in{x}\}=~x$
即ち $M\subset{M[G]}$ と考えることが可能です。さらに $\mathbb{1}$ は任意の Generic の要素なので
$\text{ZFC}\,|-\varphi~\,\Rightarrow\,~\mathbb{1}||-\varphi~\,\Rightarrow\,~M[G]\,|=~\varphi$
となり $M[G]$ は ZFC の推移的なモデルとなります(推移性は明らか)。

[基本定理]の証明はここまで準備を行うと簡単です。

(1) (この証明変です. 後で修正します. 2006年4月18日追記) $\dot{X}^G~=~\dot{Y}^G\,\Rightarrow~\exists{p\in{G}}(p||-\dot{X}=\dot{Y})$ の証明。

$\dot{X}^G\subset\dot{Y}^G$ を仮定し $p||-\dot{x}\in\dot{X}$ とします。すると強制係の定義により
$(a)\,\,\exists{(\dot{y},r)\in\dot{X}}(q\le{r}\,\wedge\,~q||-\dot{x}=\dot{y})$
を満たす $q\in\mathbb{P}$ は dense below $p$ となります。ところが $G$ が Generic であることにより $q\in{G}$ と選ぶことが可能です。すると (a) と rank による仮定法により $\dot{x}^G=\dot{y}^G$ が成立し従って (3) により(この証明には帰納法は使用していない)
$q||-\dot{x}\in\dot{Y}$
従って
$\dot{X}^G~\subset~\dot{Y}^G\,\Rightarrow\,~\exists{p\in{G}}(p||-\dot{X}\subset\dot{Y})$

(2) $\exists{p\in{G}}(p||-\dot{X}=\dot{Y})\,\Rightarrow\,~\dot{X}^G~=~\dot{Y}^G$ の証明。

まず $M[G]$ は推移的なので外延性の公理が成立していることに注意します。そこで $\exists{p\in{G}}(p||-\dot{X}=\dot{Y})$ として $\dot{x}^G\in{\dot{X}^G}$ とします。すると $\exists{q\in{G}}((\dot{x},q)\in\dot{X})$ が成立しするので $r\in{G}\,\wedge\,r\le{p}\,\wedge\,r\le{q}$ が存在し
$r||-\dot{x}\in\dot{Y}$
従って $(\dot{y},t)$ が存在して $s\le{t}\,\wedge\,s||-\dot{x}=\dot{y}$ なる $s$ は dense below $r.$ $G$ は Generic filter なので上の $s$ は $G$ の要素として良く rank による帰納法により $\dot{x}^G=\dot{y}^G$ 従って
$\dot{x}^G\in\dot{Y}^G$

(3) $\dot{x}^G~\in~\dot{X}^G\,\Rightarrow~\exists{p\in{G}}(p||-\dot{x}\in\dot{X})$ の証明。

$M[G]$ で $\dot{x}^G~\in~\dot{X}^G$ が成立していると仮定します。すると定義により $\exists{p\in{G}}((\dot{x},p)\in\dot{X})$ が成立するので $p\in{G}$ が存在し $p||-\dot{x}\in\dot{X}.$

(4) $\exists{p\in{G}}(p||-\dot{x}\in\dot{X})\,\Rightarrow~\,\dot{x}^G~\in~\dot{X}^G$ の証明。

(2)と全く同様に証明出来ます。

一般の論理式に対する言明に関しては簡単な帰納法です。今回定義した $M[G]$ はもちろん Generic $G$ が存在しなけれ一見無意味ですし、実際きちんと定義されたモデルとしては意味がありません。ところが $\mathbb{P}$ -Generic の標準名は具体的に定義可能で、さらに任意の強制関係において Generic の性質をもちます。つまり Generic が存在しない場合でも、強制関係においては「存在する」ということは言える訳で、それを利用して、今回定義した $M[G]$ と同様な仮想的な「拡大モデル」(実は単に強制関係の言い換えに過ぎないですが)を考えることにより、直感的に見通しが良い論証が可能になるとともに、論理的にも問題が発生しないことが知られています。この事実に関しては次回 $M[G]$ の基本的な性質とともに、非公式な形で記述したいと考えております。

2005年8月19日(金)

プリンター購入
おうちで今まで使っていたプリンターは Canon BJ S600 という機種で、購入してから5年以上経過してさすがに最近のに比べると印字品質で見劣りがするのと、さらに印刷すると文字や絵がかすれるという症状が発生する様になってきました。そこでそろそろ新しいのにしようかな〜、ということで機種の選択です。選択基準としては、
- 本体価格が安いこと。
- ランニングコストが安いこと。特にインクタンクは独立に交換可能であること。
- そこそこの品位で印字可能なこと。
- お子さまの要望として CD-R 等に直接印刷出来ること。
- 両面印字可能だとなお良い。
あたりなのですが、結局あんまり考えないで選択したのが、もともと安く型落ちということでさらに安いという 12,000円の Canon PIXUS iP3100 なのです。
事前にプリンターに詳しい人に聞いたところ、予想通りプリンターの本体の価格ではメーカーは全然儲からず、インクの売り上げで利益を上げるそうで、本音としては安いプリンターはあんまり売りたくないそうです。でもラインアップ上仕方なく発売していわけで、本当は安いのでもちょっと見た目には高いのと変わらない印字品質があるそうな。
実際 LaTeX で書いた数式たくさんの文書と、モカちゃんの写真を印刷してみたのですが、いやはやさすがに 5年間の進歩はたいしたもので、前のプリンターより遥かに良好な印字品質です。LaTeX の文書の方はちょっと見た目ではレーザープリンターとあんまり変わらない感じです。写真の方も家庭でちょっと印刷するには十分ですし、本当に良い品質のが欲しくなったら現像ラボに出せば良いし。まあ見る人が見ればもっと高いのに比較していろんな違いが分かるのでしょうが、私は違いが分からない人なので(笑)この機種で十分そうです。
本当は前のプリンターは Mac に繋いで文書試し印刷専用機にしたいところですが、設置する場所が確保出来ないのが悲しいのです(^^。

2005年8月18日(木)

おひっこし〜
今日は部署のおひっっこしです。まあ同じフロアーを移動するだけなのですが、とにかく体を動かすのは嫌いだし、さらにものを運ぶとなるとその苦痛は1000 倍にも達するのですよ！あーやだやだ(^^。
それはそうと引っ越しと言えばあれですよあれ(笑)。さっそくおでこに貼り付けてそのあたりをうろついたところ、とてもよく似合っているというお言葉を多数頂いたのです。ただしお客さんらしき人に見られた時はちとあせりました(^^。いやいやお客さんの方がもっと驚いてたのは間違いないと思うのですが、これが原因で商談が一つだめになったらどうしよう(^^。
明日はお休みにする予定です。結局今週は急な仕事が入ったりして夏休みは火曜日と明日の金曜日だけ。二日も余してしまった。というわけで浜松遠征の9月1日(木) とその翌日の金曜日に残りの二日を消化しようかと考えています。

2005年8月16日(火)

勉強記憶法
前にも書きましたが、私が少なくとも経済的な面とか、その他社会的な「常識」の観点から考えると、自分で創造する能力がないので何の役にも立たないと考えられる集合論の勉強をしているのは、ひとえに無限の認識に対する好奇心であり、純粋な趣味、というより完全に自己満足の世界なのです。ところでだたでさえ才能がない人間が、さらにいい年をして勉強をするときの最大の問題点は、まあ理解力が劣っているのは仕方がないとして、
勉強して覚える速度よりも忘れる速度の方が速い(笑)
ということなんですよ(^^。
一見以前の結果だけを覚えておけば良い様な気がしますが、数学の場合の常として、証明の少なくともアウトラインを忘れてしまうと、その定理を適用する場合非常に間違いやすいのです。そもそも結果自体もどんどん忘れてゆくし (笑)。
結論としては、きちんとしたノートを作成して、勉強したキーポイントを記録する必要があるということが分かるのですが、悪いことに私は昔からノート類の管理ができず、書いたはなから無くしてしまうのですよ(^^。
ところでこういう場合、今や全く興味がなくなってしまったコンピューターというのは案外便利なものでして、なぜか私としては例外的に整理が行き届いているし、さらにいつでも参照可能なのがとても便利なのです。もちろんたまには過去の日記の内容が役に立つ場合もあるのですが、勉強したことのほんの一部しか記述しておりません。
そこで、今後は勉強した内容のメモを LaTeX になぐり書きしていく運用を考えています。体裁とかフォーマットもなにも考えずにどんどん書いてゆくのです。ある程度まとまったところで見栄えを良くするというのは良い考えかも知れません。ただし普通に勉強している場合は、ノートに書きながら証明を追いかける訳で、それをコンピューターに打ち込むというのは二度手間になることは確かです。ただしその手間を惜しまなければ、記録が残るという良い点ととともに、勉強した内容に関する理解が深まるという副次的なご利益もありそうです。現実に、おそらくたくさんの間違いがあるとは思うのですが、日記に書いた部分はそれ以外の部分に比して少しは理解度が高まっていると思われるのです。
はてさて、自分に対して強制するためにこんなことを書きましたが、すぐ面倒になってやめてしまう恐れ大です。いつまで続くのでしょうか。ある意味楽しみですな(^^。

2005年8月14日(日)

夏休み終る(^^
いやはや、ちとトラブルが出て明日は出社です。さらに今晩中に一つプログラムをかく必要があるという...。うーん明後日も出なきゃいけない可能性があるし、木曜日は部署の引っ越し。水曜日と金曜日に休んだとしてもすごく細切れになってしまうし 2日間余ってしまいます。後回しにすると言っても来週以降結構忙しいしどうしよう。
夏休みは9月初旬までに4日間消化しないと権利が消失します。こういう場合の作戦としては、
(1) 「土曜日に出社」して休日出勤とする。
(2) 月曜日に夏休みを消化する。
を何回か行い (1) は一月間有効なので、もし一月経過してしまった場合、
(1) 「土曜日に出社」して休日出勤とする。
(2) 前月の土曜日の休日出勤を月曜日に消化する(^^。
を繰り返す方法があるのですが、この方法も運用がなかなか面倒なのです(笑)。

2005年8月13日(土)

強制法(forcing)のご利益
[集合論雑記目次]

[2006年6月8日] 集合論雑記の強制法に関する部分はPDFファイルにまとめました。こちらの方が誤りが少なく、論理的にも整理されていると思います。詳しくは 2006年6月8日の記事を参照して下さい。
http://evariste.jp/kagami/diary/0000/forcing-1.0.pdf
http://evariste.jp/kagami/diary/0000/forcing-1.0.tex

前回まで強制関係が ZFC のすべての公理を「満たす」ことを証明しました。即ち $M$ を集合論の推移的なモデルとして $\mathbb{P}$ をそのモデルでの半順序集合とするとき $\mathbb{P}$ に関する強制関係において次の関係が成立します。
$\text{ZFC}|-\varphi~\,\Rightarrow\,~\mathbb{1}||-\varphi$
さらに次の条件が成立したとします。
$(a)\,\,\exists{p\in\mathbb{P}}(p||-\varphi)$
このとき $\varphi$ は ZFC と矛盾しません。なぜならばもしそうでないと仮定すると $\text{ZFC}|-\neg\varphi$ なので $\mathbb{1}||-\neg\varphi$ が成立し、これは (a) に矛盾します。ここで強制法のご利益で一番簡単な例を記述するために、まず
$\mathbb{P}~=~\{p\,|\,~p~\text{~is~a~function~from~finite~subset~of~}~\omega~\text{~to~}2\}$
とします。すなわち自然数の有限集合から $\{0,~1\}$ への関数全体を考えるのです。ここで $\mathbb{P}$ の順序は $p\le{q}\,\leftrightarrow\,q\subset{p}$ で与えらるものとします。さて $\dot{G}$ を $\mathbb{P}$ -Generic の標準名称として、名称 $\dot{f}$ を
$\mathbb{1}||-\dot{f}=\bigcup{\dot{G}}$
を満たすものとします。すると $\dot{G}$ が強制関係においてフィルターの条件を満たすことにより
$\mathbb{1}||-\dot{f}\text{~is~a~function~from~a~subset~of~}\omega~\text{~to~}2$
が成立します。さらに
$D_n=\{d\in\mathbb{P}\,|\,n\in\text{dom}(d)\}$
とおくと $D_n$ は $\mathbb{P}$ の Dense subset でさらに $D_n\in{M}$ が成立します。従って $\mathbb{1}||-\dot{G}\cap\check{D_n}\neq\emptyset$ が成立するので
$\mathbb{1}||-\text{dom}(\dot{f})=\omega$
ここで $\dot{D}=\{\check{d}\in\mathbb{\check{P}}\,|\,~\mathbb{1}||-\check{d}\not\subset\dot{f}\}$ なる名称 $\dot{D}$ を考えると次の事実が成立します。
$\mathbb{1}||-\dot{D}\text{~is~dense~in~}\mathbb{P}\cr~\mathbb{1}||-\dot{G}\cap\dot{D}=\emptyset$
従ってもし $\mathbb{1}||-\dot{f}\in\check{M}$ と仮定すると $\mathbb{1}||-\dot{D}\in\check{M}$ となり矛盾です。つまり強制関係において、元のモデルに属さない実数 $\dot{f}$ が構成されました。このような実数を「Cohen 実数」と呼びます。 $\mathbb{P}$ の要素のの定義域と値域をちょっと変更すると、元のモデルに大量の Cohen 実数を付加することが可能となり、強制関係において「連続対仮説の否定」を導くことが可能となります。即ち「連続対仮説の否定は ZFC と矛盾しない」ことが導かれます。ただ、さすがに強制関係だけによる記述を続けるのは疲れてきたので(笑)、次回はGeneric extension に関して記述する予定です。
[重要な注意]
単に名称と考えれば $\dot{f}\in{M}^{\mathbb{P}}\subset{M}$ であるし $\dot{D}$ に関しても同様です。これらが $M$ 上できちんと定義可能であることが重要なのです。

2005年8月12日(金)

いちだんらく
やっとこ CF 1000枚のマスターも完成し明日から夏休みです。本当は 9連休としたいところですが、この時期になにを考えてるんだか、来週の木曜日に部署の場所移動があるのでその日は出社です。それでも 5日休んで、1日会社。その後またまた 3連休ということで、いくらか疲れが取れそうな気がします。例のごとくどこかに出かけるという予定は全然なく、まあぼちぼち趣味の数学の勉強でもしながら、のんびり過ごしたいと考えています。

2005年8月11日(木)

いちばんくじ
今日、浩子さん浜松公演のチケットが届きました。おお！やっぱりはじめてのいちばんくじ(^^。まあ一生に一度くらいこんなことがあっても良いでしょう。後は当日どうしてもはずせない仕事が入るとか、新幹線が止まってしまわないこと祈るだけです。

2005年8月10日(水)

モカちゃん帰宅
本日17時45分に湘南台に到着したと連絡がありました。私がおうちに帰ったのは 21時頃で、いろんな話を聞きたかったのですが、だいぶ疲れたようでその時間にはもう寝てました(^^。
菅直人来たる
私の勤めてる会社は東京の府中市。社長は東工大出身。そんなしがらみからか、菅直人が会社に来たのです。ねたのために握手してしまった(笑)。うーん、もともとテレビなんかで握手しまくっている候補者をみて、「あんなの効果ある訳ないじゃん」と思っていたのですが、もしかして今回だけは民主党に入れてしまうかも知れません。本来私は、自民党・民主党・宗教団体政党は絶対には投票しない人なのですが、いやはやいつもの通り軟弱かつミーハーかつブランド志向の本性が現れましたな(^^。

2005年8月8日(月)

ニュートリノ見学
今日から三日間モカちゃんは藤沢市科学少年団主催の合宿で、神岡市のスーパーカミオカンデの見学です。朝6時45分に湘南台の駅に集合ということで、私も通勤がてら奥さま運転の車に同乗して送ってきたのです。
それにしてもらやまし〜(^^。ニュートリノですよニュートリノの見学！！。いいないいな私も見たいのに(笑)。なのでモカちゃんにお願いしたこと。

モカちゃんと交換で私が行く。モカちゃんは会社で仕事する。

理由は良くわからないのですが却下でした(笑)。

お土産にニュートリノをもってくる。

ははは、こちらは取り方が分からないといことで却下です。てゆうかニュートリノって毎秒億だか兆もしくはそれ以上の個数が我々の体を通り抜けてるらしいし。そういう意味では珍しいものではないのかも。

ニュートリノ饅頭もしくはニュートリノ煎餅を買ってくる。

こちらは「もしあったら」買って来てくれるそうな。でもきっとないだろうな(^^。

光電管をこっそり盗んでくる。

いやいや子供に盗みなどさせてはいけません。
というわけでなかなか私の思い通りにはならないのです。それはそうと、モカちゃんは私のカメラを持って行ったのですが、果たして地下の巨大水置き場の撮影は許可されているのだろうか？さらにモカちゃんは「なくしたり壊したりしたら大変」と心配していたのですが、いやいや私としてはそろそろなくすか壊してくれた方が...と言ったら奥さまに怒られてしまいました。どうしてなんだろう(^^。

2005年8月7日(日)

強制法(forcing)とZFC・三回目
[集合論雑記目次]

[2006年6月8日] 集合論雑記の強制法に関する部分はPDFファイルにまとめました。こちらの方が誤りが少なく、論理的にも整理されていると思います。詳しくは 2006年6月8日の記事を参照して下さい。
http://evariste.jp/kagami/diary/0000/forcing-1.0.pdf
http://evariste.jp/kagami/diary/0000/forcing-1.0.tex

すみません。三日連続このねたで(^^。というわけで、今日は強制関係 (forcing relation)において、「置換公理」「選択公理」「正則の公理」が成立することの証明です。これらが完了すれば、強制関係が ZFC を満たすことを一通り証明したことになるのです。

[置換公理]

$\varphi$ を論理式とします。証明すべきことは
$\mathbb{1}||-\forall{x}\exist{!y}(\varphi(x,y))\rightarrow~\forall{X}\exist{Y}\forall{x}(x\in{X}\,\rightarrow~\exist{y}(y\in{Y}\wedge{\varphi(x,y)}))$
$X\in{M^{\mathbb{P}}}$ とます。このとき「反映の原理」により $Z\in{M},\,Z\subset{M^{\mathbb{P}}}$ が存在し
$\forall{x\in\text{dom}(X)}\forall{p\in\mathbb{P}}~(\exist{y\in{M^{\mathbb{P}}}}(p||-\varphi(x,y))\,\rightarrow\,~\exist{y\in{Z}}(p||-\varphi(x,y)))$
を満たすので $Y=Z\times\{\mathbb{1}\}$ とおくと条件が成立します。[Kunen. Set Theory を参考]

[選択公理]

任意の $p\in\mathbb{P},\,X\in{M^{\mathbb{P}}$ に対し
$p||-'X$ 上に整列順序が存在する'
ことを示します。まず $Z=\text{dom}(X)$ をもとのモデル $M$ の要素と考え
$f=\{(\check{z},z)^{\mathbb{P}}\,|\,z\in{Z}\}~\times\{\mathbb{1}\}\in{M^{\mathbb{P}}}$
ここで $(\check{z},z)^{\mathbb{P}}$ は $M^{\mathbb{P}}$ 上の強制関係において順序対を表現する対象式とします。 $f$ の第一座標は標準名からなるので次の事実が分かります。
$p||-f\,\,\text{is~a~function~from~}\check{Z}\text{~to~ran}(f)\cr~p||-X\subset\text{ran}(f)$
$Z$ 上には元のモデルでの整列順序が存在するので、強制関係において $\check{Z}$ 上に整列順序が存在します。従って $p$ は $X$ 上に整列順序が存在することを強制します。[Jech. Set Theory を参考]

[正則の公理]

証明すべきことは
$\mathbb{1}||-\forall{X}(X\neq\emptyset\rightarrow\exist{x}(x\in{X}~\,\wedge\,x\cap{X}=\emptyset)$
です。もし成立しないと仮定すると $p\in\mathbb{P}$ が存在して
$p||-\exist{X}(X\neq\empty\,\wedge\,\forall{x}(x\in{X}\rightarrow~x\cap{X}\neq\emptyset))$
ここで $q\le{p}$ と $X\in{M^{\mathbb{P}}}$ を固定して
$(a)\,\,q||-X\neq\empty\,\wedge\,\forall{x}(x\in{X}~\rightarrow{x}\cap{X}\neq\emptyset)$
が成立するものとします。 (a)の右辺を $\varphi$ で表し次の空でないクラス $C$ を考え、
$C=\{x\in{M^{\mathbb{P}}}\,|\,\exist{r\le{q}}(r||-x\in{X}\,\wedge\,\varphi)\}$
$C$ の要素で $\text{rank}$ が最小のものを $x\in{C}$ とします。すると $r\le{q}$ が存在し $r||-x\in{X}\,\wedge\,x\cap{X}\neq\emptyset$ が成立し、従って $s\le{r}\,z\in{M^{\mathbb{P}}}$ が存在し
$s||-z\in{x}\,\wedge\,~z\in{X}$
もちろん $s||-\varphi$ は成立しているので $\text{rank}(z)<\text{rank}(x)~\,\wedge\,~z\in{C}$ となるがこれは $\text{rank}(x)$ の最小性に矛盾します。[Jech. Set Theory を参考]
これで強制関係がZFCの公理すべてを満たすことが証明出来ました。参考にした本は Kunen. Set Theory と Jech. Set Theory なのですが、Kunen の本には Generic 拡大での同等な証明、Jech の本には Boolean valued model での同等な証明が記述されています。これらを参考にして強制関係のみを使った証明に書き直したのですが、間違えてしまっている部分も多々ありそうです。そのあたりをご指摘頂けるととてもうれしいです。
いずれにしてもこれで「連続対仮説の ZFC からの独立性」を証明する準備が整った様な気がします。次回はその証明に対する forcing のご利益ということで、あまり厳密ではなく「元のモデルに存在しない新しい実数を『構成する』」ことについて記述したいと考えております。

2005年8月6日(土)

強制法(forcing)とZFC・二回目
[集合論雑記目次]

[2006年6月8日] 集合論雑記の強制法に関する部分はPDFファイルにまとめました。こちらの方が誤りが少なく、論理的にも整理されていると思います。詳しくは 2006年6月8日の記事を参照して下さい。
http://evariste.jp/kagami/diary/0000/forcing-1.0.pdf
http://evariste.jp/kagami/diary/0000/forcing-1.0.tex

今回は「合併の公理」「無限公理」「冪集合の公理」が強制関係(forcing relation) において成立することの証明を記述します。

[合併の公理]

証明すべきことは
$\mathbb{1}||-\forall{X}\exist{Y}\forall{x}~(\exist{u}(u\in{X}\wedge{x}\in{u})\,\rightarrow~x\in{Y})$
です。 $X\in{M^{\mathbb{P}}}$ を固定して
$Y=\bigcup\text{dom}(X)$
とし、さらに $x,~u\in{M^{\mathbb{P}}},\,p\in\mathbb{P}$ が次の条件を満たすものとします。
$(a)\,\,p||-u\in{X}\,\wedge\,x\in{u}$
このとき $p||-x\in{Y}$ を示せば証明完了です。まず $p||-u\in{X}$ により dense belop $p$ なる $q$ に対して次の事実が成立します。
$(b)\,\,(v,~r)\in{X}$ が存在して $q\le{r}\,\wedge\,~q||-u=v~.$
(b)より
$q||-v\in{X}\,\wedge\,v\in\text{dom}(X)$
ところが $q||-x\in{u}$ より $q||-x\in{v}.$ よって dense below $q$ なる $s$ に対し $(z,t)\in{v}$ (従って $(z,t)\in{Y}$ )が存在し $s\le{t}\,\wedge\,s||-x=z$ を満たす。従って $s||-x\in{Y}.$ この様な $s$ はいもづる式に dense below $p$ なので
$p||-x\in{Y}$

[無限公理]

$\omega$ の標準名 $\check{\omega}$ が強制関係において無限公理を満たすことが簡単に証明可能です(\check を \tilde で代用)。

[冪集合の公理]

証明すべきことは次の通りです。
$\mathbb{1}||-\forall{X}\exist{Z}\forall{Y}(Y\subset{X}\rightarrow~Y\in{Z})$
これを証明するため $X\in{M^{\mathbb{P}}}$ に対し
$S=\{U\in~M^{\mathbb{P}}\,|\,~\text{dom}(U)\subset\text{dom}(X)\}$
として、さらに $Z=S\times\{\mathbb{1}\}$ とします。ここで $p\in\mathbb{P}$ に対し
$p||-Y\subset{X}$
を仮定します。ところで
$Y^{'}~=~\{(y,q)\,|\,y\in\text{dom}(X)\,\wedge\,q||-y\in{Y}\}$
とおくと明らかに $Y^{'}\in{S}$ が成立し $p||-Y^{'}\in{Z}.$ 従って $p||-Y=Y^{'}$ を示せば証明完了ですがこれは定義によりほとんど明らかです。この証明は未だに Generic extension を利用していないで forcing での記述をしている点を除けばほとんど Kunen の本からの引用です。
残るは「置換公理」「選択公理」「正則の公理」です。

2005年8月5日(金)

強制法(forcing)とZFC・一回目
[集合論雑記目次]

[2006年6月8日] 集合論雑記の強制法に関する部分はPDFファイルにまとめました。こちらの方が誤りが少なく、論理的にも整理されていると思います。詳しくは 2006年6月8日の記事を参照して下さい。
http://evariste.jp/kagami/diary/0000/forcing-1.0.pdf
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二三回に分けて forcing relation が ZFC の公理をすべて「満たす」ことの証明を記述します。つまり $\varphi$ を ZFC の公理とするとき
$\mathbb{1}||-\varphi$
が成立することを示すのです。今回は簡単な方からということで、「存在公理」「対の公理」「外延性の公理」「内包の公理」あたりまで。しばらくの間は Generic extension の概念を使わないでがんばる予定。

[存在公理]

名称 $\emptyset$ が強制関係において「空集合」の性質を満たすことにより明らかです。

[対の公理]

$x,~y\in{M^{\mathbb{P}}}$ を二つの名称とし $Z=\{(x,\mathbb{1}),~(y,\mathbb{1})\}$ とすると定義から容易に
$\mathbb{1}||-x\in{Z}\,\wedge\,y\in{Z}$

[外延性の公理]

そもそも強制法での「等号の定義」がとても面倒なのは、外延性の公理を満たすためだそうで、これは難しくはないのですが少々長くなります。ただしこの公理が成立することを証明してしまうと、等号の定義に戻ることはほとんどなく必要なくなるため、今後の経営が楽になります(笑)。
外延性の公理が強制関係において成立するということは
$\mathbb{1}||-{\forall{X}\forall{Y}~~~(\forall{x}(x\in{X}\leftrightarrow~x\in{Y})~\rightarrow~X=Y)}$
ということです。言い換えると $X,~Y$ を名称とするとき、任意の $p\in\mathbb{P}$ に対し
$p||-{\forall{x}(x\in{X}~\rightarrow~x\in{Y})}\rightarrow~~~X\subset_p{Y}$
つまり
$(a)\,\,\forall{x}(p||-(x\in{X}~\rightarrow~x\in{Y}))\rightarrow~~~X\subset_p{Y}$
が成立すれば良いのです。ただし $X\subset_p{Y}$ はここだけの記号で、forcing における等号の定義の「半分」が成立すること、即ち
$\forall~(x,~s)\in{X}\forall{q\le{p}}\exist{r\le{q}}(~r\le{s}\,\rightarrow\,\exist{(y,~t)\in{Y}(r\le{t}\,\wedge\,r||-x=y)})$
のこととして (a) の対偶の
$(b)\,\,X{\not\subset}_p{Y}\rightarrow~~\exists{x}(\neg(p||-(x\in{X}~\rightarrow~x\in{Y})))$
を証明します。まず (b) の前提条件は $(x,s_0)\in{X}$ が存在し
$\exists{q\le{p}}\forall{r\le{q}}(r\le{s_0}\wedge~{\neg{\exists(y,s_1)\in{Y}(r\le{s_1}\wedge~r||-x=y)}})$
が成立することであり、先頭の存在記号に現れる $q$ を固定すると $q\le{p}$ で任意の $r\le{q}$ に対し
$r\le{s_0}\,\wedge\,{\neg{\exists(y,s_1)\in{Y}(r\le{s_1}\wedge~r||-x=y)}}$
が成立するということです。ところで $(x,~s_0)\in{X}$ なので $s_0||-x\in{X}$ が成立し $q\le{s_0}$ なので $q||-x\in{X}.$ ここでもし $q||-y\in{Y}$ が成立すると仮定すると定義により、
$\forall{s\le{q}}\exists{r\le{s}}~~~~~(\exists(y,s_1)\in{Y}(r\le{s_1}\,\wedge\,~r||-x=y))$
が成立し、特に $s=q$ の場合を考えると
$(d)\,\,\exists{r\le{q}}~~~~~(\exists(y,s_1)\in{Y}(r\le{s_1}\,\wedge\,~r||-x=y))$
となるがこれは (c) に矛盾します。

[内包の公理]

$\varphi$ を論理式とします。証明したいことは
$\mathbb{1}||-\forall{X}\exist{Y}\forall{x}(x\in{Y}\,~\leftrightarrow\,x\in{X}\wedge\varphi(x))$
なので $X\in{M^{\mathbb{P}}}$ を固定して
$Y=\{(x,p)\in\text{dom}(X)\times{\mathbb{P}}\,|\,p||-x\in{X}\wedge\varphi(x)\}$
が任意の $p||-x\in{X}$ なる $x,~p$ に対し $p||-x\in{Y}~\leftrightarrow~p||-x\in{X}\wedge\varphi(x)$ を満たすことを示します。まず $p||-x\in{Y}$ を仮定すると定義により
$(a)\,\,\forall{q\le{p}}\exist{r\le{q}}\exist{(y,s)\in{Y}~(r\le{s}\wedge~r||-x=y)$
$Y$ の定義により (a) は
$(b)\,\,\forall{q\le{p}}\exist{r\le{q}}\exist{(y,~s)\in\text{dom}(X)\times~\mathbb{P}}~(r\le{s}\,\wedge\,(s||-y\in{X}\wedge\varphi(y))\,\wedge~r||-x=y)$
と書き換えることができ、従って
$(c)\,\,\forall{q\le{p}}\exist{r\le{q}(r||-x\in{X}\wedge\varphi(x))$
が成立するので $p||-x\in{X}\wedge\varphi(x).$ 逆に $p||-x\in{X}\wedge\varphi(x)$ を仮定すると強制関係における $\in$ の定義と $p||-\varphi(x)$ により
$(d)\,\,\forall{q\le{p}}\exist{r\le{q}}\exist{(y,s)\in{X}}~(r\le{s}\,\wedge\,r||-x=y~\,\wedge\,~p||-\varphi(x))$
が成立します。従って (d) の条件を満たす $r,y$ に対して $y\in\text{dom}(X)~\,\wedge~\,~r||-y\in{X}\,\wedge\,r||-\varphi(y)$ が成立するので $(y,~r)\in{Y}$ 従って $r||-y\in{Y}$ が成立し $r||-x=y$ により $r||-x\in{Y}.$ この様な $r$ は dense below $p$ なので $p||-x\in{Y}.$
今日は会社から帰り損ねて、簡単な公理が成立することの証明を書いたのですが、残っているのは「合併の公理」「無限公理」「置換公理」「冪集合の公理」「選択公理」「正則の公理」ですか。最初の二つはともかく、残りは私にとってはちと面倒です。いやはや先が思いやられますな(^^。

2005年8月4日(木)

お泊まり
ちとトラブルがあって本日は会社に泊まりです。いや 22時すぎると電車がないのですよ(^^。今「翌日の」1時頃ですが、やっとこ一段落したので、うだうだと朝まで過ごすことにしましょう。朝一で帰りたいところですが、明日もちとやることがあるので早々に帰る訳には行きません。いやはや疲れますなあ(^^。

2005年8月3日(水)

くるくるマウス
ずーっと一つボタンでがんばって来たアップルからついに「複数ボタン・くるくる機能」付きマウスの発表です。うーむ、個人的には余計なものが付いてない一つボタンマウスのデザインは大好きなのですが、たまにマウスを忘れてしまい、普通のくるくるマウスを使うとこれがなかなか便利なのですよ(^^。一つボタンに戻った時しばらく不便さを感じるという場合も多々あります。今のところ無線ヴァージョンは発表されていないのですが、デザイン的にもなかなか良さそうなので、無線のが発売されたら買ってしまう可能性が非常に強いのです。なのでまたまた散財ですな(^^。
＃さらに電池の持ちが悪くなったらどうしよう(笑)

2005年8月2日(火)

江ノ島の花火
8月です。今日は江ノ島の花火大会で、藤沢駅で電車を降りたら、浴衣おねーちゃんがたくさん歩いていました。なかなか風情があるものです(^^。
全然関係ない話ですが、8月10日に10月以降全国にばらまかれる計測器の CF 1000枚の内容を確定して、製造業者様の方に渡す必要があります。一度渡したらもう後戻りできません。いやいや中に入れるソフトウエアーは予定通り完成していまして今のところ何の問題もないのですが、なんせ 1000枚の CF を焼き直すなんていうことを考えると「間違いが許されない」訳なのですよ。なので仕事は基本的にのんびり行うポリシーの私なのですが、ここ数日ちとストレス過剰状態だったりします(^^。

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