Δシステムレンマ自己流証明 (暫定版)
集合論雑記目次
Kunen本に記載された一般的なΔシステムレンマを若干表現を変更して再掲します。
(Δシステムレンマ)
$
\kappa \lt \theta
$
としてさらに
$
\theta
$
は正則基数であると仮定する。さらに
$
\forall \alpha\lt \theta (|\alpha|^{\lt \kappa} \lt \theta)
$
が成立しているとする。いま
$
A
$
が
$
|A|=\theta
$
かつ
$
\forall {x \in A} (|x|\lt \kappa)
$
を満たしているとして
$
A
$
の要素全体を
$
\langle a_\alpha\rangle_{\alpha\lt \theta}
$
と数え上げておく。
このとき
$
\theta
$
の濃度
$
\theta
$
(定常にできると思うのですが考え中---追記を参照して下さい) である部分集合
$
S
$
で
$
B=\{a_\alpha : \alpha \in S\}
$
が
$
\Delta
$
システムとなるものが存在する □
(証明)
まず
$
\kappa
$
が正則な場合
$
\lambda=\kappa
$
,
$
\kappa
$
が特異な場合
$
\lambda=\kappa^{+}
$
とします。
$
\kappa
$
が正則基数の場合はもちろん、特異基数の場合も条件
$
\forall \alpha\lt \theta (|\alpha|^{\lt \kappa} \lt \theta)
$
とケーニヒの補題
(
$
\kappa \lt \kappa^{\mathrm{cf}(\kappa)}
$
) により
$
\lambda=\theta
$
となることはありえません。従って
$
\lambda\lt \theta
$
で
$
\lambda
$
は正則なので
$
E = \{\alpha\lt \theta\,:\, \mathrm{cf}(\alpha)=\lambda \}
$
は
$
\theta
$
の定常集合となります。そして
$
E
$
から
$
\theta
$
への関数
$
f(\alpha) = \sup(\alpha \cap a_\alpha)
$
は退行的、すなわち
$
\forall{\alpha \in E}(f(\alpha)\lt \alpha)
$
です。従ってフォドアの補題により
$
F \subset E
$
を満たす定常集合
$
F
$
と
$
\gamma \lt \theta
$
が存在し
$
\forall{\alpha \in F}(f(\alpha)=\gamma)
$
が成り立ちます。言い換えると
$
\alpha \in F
$
に対し
$
\sup(\alpha \cap a_\alpha) = \gamma \lt \theta
$
が成り立ちます。さらにもちろん
$
\alpha \in F
$
に対し
$
|\alpha \cap a_\alpha|\lt \kappa
$
です。すると
$
\forall \alpha\lt \theta (|\alpha|^{\lt \kappa} \lt \theta)
$
により
$
\alpha \in F
$
に対応する
$
\alpha \cap a_\alpha
$
の個数は
$
\theta
$
未満です。従って
$
r \subset \theta
$
と定常集合
$
S_0 \subset F
$
が存在し
$
\alpha \in S_0
$
に対し
$
\alpha \cap a_\alpha = r
$
が成立します。ここで
$
S_0
$
の要素の増大列
$
\langle \alpha_\xi \rangle_{\xi \lt \theta}
$
を
$
\forall {\xi \lt \theta}\forall {\eta \lt \xi }(a_{{\alpha}_\eta}
\subset \alpha_\xi)
$
を満たすように構成し
$
S=\{\alpha_\xi:\xi \lt \theta\}
$
とすると
$
B=\{a_\alpha \,: \, \alpha \in S\}
$
が
$
r
$
を根とするΔシステムとなります □
実は渕野さんが書かれた
「初等部分構造の手法とその集合論での応用」
の内容を拡張した方法を色々考えていて、一度うまく行ったと思ったのですが、
大穴が開いていました。その後渕野さんに答えを教えて頂いたのですが、いま
いち細かいところの証明が完成しません。情けない。そんなこんなで色々Δシ
ステムの条件を考えていたら、大道具使いすぎですが、とりあえず上の証明で
問題がないような気がしてきました。でも間違っていたらどうしよう。問題点
がありましたらご指摘の程お願い致します。渕野さんが書かれた文献に記載さ
れた方法の拡張に関してはもう少々お待ちください。
(2008年8月15日 追記) コメントでてなさくさんに教えて頂いたように、
最初にZornの補題により
$
\theta
$
の部分集合
$
C
$
で
$
\forall \alpha,\beta\in C( \alpha<\beta \rightarrow a_\alpha \subset \beta)
$
を満たすもので極大なものを考えます。ところが極大性と
$
C
$
の要素が満たすべき条件により
$
C
$
の要素の極限点はまた
$
C
$
の要素です。従って
$
C
$
は
$
\theta
$
の閉非有界集合となります。すると上の証明を
$
\langle a_\alpha\rangle_{\alpha \in C}
$
から開始することが可能で、その場合
最後の
$
S
$
を作る部分は不必要となるので、定常な添え字を持つΔシステムの存在が
証明できます。
(2008年8月16日 追記の追記) なに寝ぼけてたんだか。
$
C=\{\beta\lt \theta \,:\, \forall \alpha\lt \beta(a_\alpha \subset \beta)\}
$
です。
(参考文献)
渕野昌 「初等部分構造の手法とその集合論での応用」
Kenneth Kunen 著 Set Theory (邦訳 「集合論—独立性証明への案内」
ケネス・キューネン著, 藤田博司訳)
(関連リンク)
2008年8月3日 Δシステムレンマ (続き)
2008年7月31日 Δシステムジレンマ
コメント
_てなさく [ちょっと思ったんですが, 最後に $S_0$ の要素の増大列を抜き出すんでなくて...]
_かがみ [最初の方で処理してしまえば良かったのですか。本文の手法は書いた後気がついたのです...]
もともと会社で黒マックのキーボードは無線のものを使っていました。ノートなのに
あえて外付けキーボードを使っている理由は次の通りです。
